\paragraphe {Résolution de l'équation sans second membre} On admettra le théorème suivant~: \assert Théorème Résolution de l'équation linéaire homogène du second ordre. On considère l'équation $$ a y'' + b y' + c y = 0. \leqno \hbox {\hskip \itemindent \hskip \itemindent } (E_0) $$ et son équation caractéristique associée $ar^2 + br + c = 0$. Le tableau ci-dessous donne les solutions de $(E_0)$ en fonction du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$~: \everymath = {\displaystyle } $$ \vcenter{\halign{ % preamble & \cc{#} & #\tv \cr && Solutions de l'équation caractéristique associée&& Solution générale de $(E_0)$ \cr \noalign{\hrule } $\Delta = 0$&& une racine double $r = -{b \over 2a} \in \rset$&& $\vcenter{ \smallskip \hbox{\qquad $y (x) = (Ax + B) e^{rx}$} \hbox{où $A$ et $B$ sont des réels arbitraires.} \smallskip }$ \cr \noalign{\hrule } $\Delta > 0$&& $\vcenter{ \smallskip \hbox{\qquad \qquad \qquad 2~racines réelles} \smallskip \hbox{$r_1 = {-b - \sqrt{\Delta} \over 2a}$ \quad et \quad $r_2 = {-b + \sqrt{\Delta} \over 2a}$} \smallskip }$&& $\vcenter{ \smallskip \hbox{\qquad $y (x) = A e^{r_1 x} + B e^{r_2 x}$} \hbox{où $A$ et $B$ sont des réels arbitraires.} \smallskip }$ \cr \noalign{\hrule } $\Delta < 0$&& $\vcenter{ \smallskip \hbox{\quad \qquad 2~racines complexes conjuguées} \hbox{\qquad \qquad $\alpha + i \beta$ \quad et \quad $\alpha - i \beta$} \hbox {\qquad \qquad où $\alpha = {-b\over 2a}$ et $\beta = {\sqrt {-\Delta }\over 2a}$\qquad \qquad } \smallskip }$&& $\vcenter{ \smallskip \hbox{\qquad $y (x) = e^{\alpha x} (A \cos \beta x + B \sin \beta x)$} \hbox{où $A$ et $B$ sont des réels arbitraires.} \smallskip }$ \cr }} $$ \endassert