\paragraphe {Un autre exemple corrigé} On considère l'équation d'inconnue $y$~: $$ y' - 2x y = 2x \leqno (E) $$ La résolution de cette équation passe par 3~étapes~: \item {$\bullet $} {\sl Résolution de l'équation homogène associée} \item {} On a $$ y' - 2x y = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y' = 2x y. \leqno (E_0) $$ Avec les notations du théorème précédent, on a $a (x) = 2x$, dont une primitive est la fonction $A$ définie par $A (x) = x^2$. Les solutions de $(E_0)$ sont donc toutes les fonctions $y$ ayant une écriture du type $$ \tresultat {$y = ke^{\left( x^2 \right) }$ où $k$ constante réelle quelconque} $$ Cette expression donne la {\sl solution générale de $E_0$}. \item {$\bullet $} {\sl Recherche d'une solution particulière de $(E)$} \item {} On remarque que la fonction constante $y$ définie pour tout $x$ par \dresultat {y (x) = -1} est une solution particulière de $(E)$. En effet, on a alors $y' (x) = 0$ pour tout $x$, d'où $$ y' (x) - 2x y (x) = 0 -2x \times (-1) = 2x $$ pour tout $x$. (En général dans les exercices, des indications sont données dans le texte pour vous permettre de trouver une telle solution particulière.) \item {$\bullet $} {\sl Conclusion~: solution générale de $(E)$} \item {} On peut alors conclure~: l'équation $(E)$ admet une infinité de solutions~: toutes les fonctions $y$ ayant une écriture du type $$ \tresultat {$y (x) = -1 + k e^{\left( x^2 \right) }$ où $k$ est une constante réelle quelconque} $$ Si maintenant on impose à la solution de vérifier une condition initiale donnée, alors on sait qu'il existe une et une seule solution. Il faudra alors déterminer la seule valeur de la constante $k$ possible. Par exemple, si la solution $f$ doit vérifier l'équation $(E)$, mais aussi la condition $f (0) = 0$, on sera amener à une quatrième étape~: \item {$\bullet $} {\sl solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale donnée} \item {} Comme la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$, on sait que $f$ est définie par une expression du type $f (x) = -1 + k e^{\left( x^2 \right) }$ pour une certaine valeur de la constante $k$. Sachant que $f (0) = 0$, il vient la relation $0 = -1 + k e^0$, d'où la seule valeur possible pour la constante~: $k=1$. Finalement la fonction $f$ cherchée est la fonction \mresultat {f (x) = -1 + e^{(x^2)}}