%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex %% sujet equation differentielle d'ordre 1 %% date 12-11-97 %% auteur jp vignault \exo{Coefficients constants --- Trouver le bon polynôme} Les questions {\bf 2.} et {\bf 3.} sont indépendantes de la question {\bf 1.} \itemnum On considère l'équation différentielle $$ y' (x) - y (x) = x^2 - x - 1 \leqno (E) $$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur $\rset$, et de fonction dérivée $y'$. \itemitemalph Déterminer une solution particulière de l'équation $(E)$ sous forme d'un polynôme. \itemitemalph Déterminer la solution générale de l'équation $(E)$. \itemitemalph Quelle est la solution de $(E)$ vérifiant la condition $y (0) = 1$~? \itemnum Soit $f$, la fonction numérique définie sur $\rset$ par $$ f (x) = e^x - x^2 - x. $$ \itemitemalph Déterminer $f'$ et $f''$, les dérivées premières et seconde de la fonction $f$. En déduire le tableau de variation de $f'$. (On précisera les limites de $f'$ en $-\infty$ et en $+\infty$.) \itemitemalph Déduire de la question précédente que l'équation $f' (x) = 0$ admet deux solutions dont l'une est inférieure à $\ln 2$ et dont l'autre, notée $x_0$, est supérieure à $\ln 2$. \itemitemalph Montrer que $f (x_0) = -x_0^2 + x_0 + 1$. \itemitemalph Construire, dans un repère orthonormé (unité~: 2~cm ou 2~grands carreaux), la courbe $C$ et la droite $D$ d'équations respectives $$ y = e^x \qquad {\rm et} \qquad y = 2x + 1. $$ \itemitemalph Déduire du {\bf 2.}{\sl a\/}) que $C$ et $D$ ont deux points communs \itemitemalph Quelle est la plus petite des solutions de l'équation $f' (x) = 0~?$ \itemitemalph Montrer qu'une valeur approchée à $0, 01$ prés de $x_0$ est $\alpha = 1, 25$. \itemitemalphnum Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \itemitemalph \'Etudier les variations de la fonction $f$. \itemitemalph Tracer, sur un second graphique (muni d'un repère orthonormal de même unité que précédemment)~: \itemitem{} $\bullet$ la parabole $P$ d'équation $y = -x^2 - x$ \itemitem{} $\bullet$ la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $f$. (On prendra pour valeur approchée de $f (x_0)$ une valeur approchée de $f (\alpha)$ à $0, 1$~près). \finexo