%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex %% sujet equation differentielle d'ordre 1 %% date 12-11-97 %% auteur jp vignault \exo {\'Equation à coefficients non constants} On considère l'équation différentielle $$ y' + xy = x^2e^{-x} $$ où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\rset$, de dérivée $y'$. \itemitemalph Résoudre l'équation différentielle $$ y' + xy = 0 \leqno (E_0) $$ \itemitemalph Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $h$ définie sur $\rset$ par $h (x) = (ax + b)e^{-x}$ soit une solution particulière de $(E)$. \itemitemalph Déduire des questions précédentes la solution générale de l'équation $(E)$. \finexo \corrige {} \itemalph Il vient $$ y' + xy = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y' = -xy. $$ Le cours nous dit alors que la solution générale de $(E_0)$ est \dresultat {y_0 (x) = ke^{-x^2/2}, k\in \rset } puisqu'une primitive de $a (x) = -x$ est $A (x) = -{x^2\over 2}$. \itemalph On a $$ h (x) = (ax + b)e^{-x} \qquad {\rm donc} \qquad h' (x) = (-ax + b -a) e^{-x} $$ d'où $$ h' + xh = (-ax + b -a) e^{-x} + x (ax + b)e^{-x} = \big( ax^2 + (b-a)x + b -a \big) e^{-x} = x^2 e^{-x} $$ Par identification, on a alors $$ \big( ax^2 + (b-a)x + b -a \big) = x^2 \qquad {\rm soit}\qquad \cases { a = 1 \cr b-a = 0 \cr b-a = 0 \cr } \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases { a = 1 \cr b = 1 \cr } $$ Donc \dresultat {h (x) = (x+1) e^{-x}} est une solution particulière de $(E)$. \itemalph Donc \dresultat {y (x) = (x+1) e^{-x} + ke^{-x^2/2}, k\in \rset} est la solution générale de $(E)$. \fincorrige