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Source de equ1_010.tex

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%% sujet                equation differentielle d'ordre 1
%% date                 20-11-97
%% auteur               jp vignault 

\exo{\'Equation différentielle avec une exponentielle}

\def \partie#1{%
   {\bf Partie #1 --}}

\partie {A} On considère l'équation différentielle 
$$
   y' + y = 1 - e^{-x}
\leqno
   (E)
$$
où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et
dérivable sur $\rset$, et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\itemnum Résoudre l'équation différentielle
$$
   y' + y = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Déterminer une fonction numérique $u$ définie et dérivable
sur $\rset$ telle que la fonction définie par
$$
   x \mapsto y_0 = u (x) e^{-x}
$$
soit solution de $(E)$

\itemnum Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ vérifiant la
condition initiale $g' (0) = 0$.

\clearnumno \bigskip

\partie {B} Soit $g$ la fonction définie sur $\rset$ par
$$
   g (x) = 1 - (x+1) e^{-x}
$$
et $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère
orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$, unité~: 2~cm.

\itemnum Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en
$+\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $D$ pour $C$.

\itemnum \'Etudier les variations de la fonction $g$.

\itemnum Construire la droite $D$ et la courbe $C$ après avoir
déterminé les coordonnées d'une dizaine de ses points à l'aide d'une
calculatrice programmable.

\itemitemalphnum \`A l'aide d'une intégration par parties, calculer
l'intégrale
$$
   I = \int_{-1}^2 (x+1) e^{-x} \, dx
$$

\itemitemalph En déduire l'aire $\cal A$, en cm$^2$, de la partie du
plan limitée par $C$, $D$ et la droite d'équation $x=2$.

\itemitemalph Donner un encadrement de $\cal A$ d'amplitude $10^{-2}$.

\finexo

\corrige{}

\itemnum Le cours donne immédiatement que les solutions de l'équation
$(E_0)$ sont toutes les fonctions 
du type 
$$
   \tresultat{$y = k e^{-x}$, où $k \in \rset$}
$$

\itemnum On cherche maintenant une solution $g$ de l'équation $(E)$,
où $g$ peut s'écrire sous la forme $g (x) = u (x) e^{-x}$ pour une
certaine fonction $u$. Guidé par notre expérience (et aussi par un
coup d'{\oe}il sur le texte de la partie {\bf B.}), nous essayons dans 
un premier temps de voir si un polynôme du premier degré peut convenir
pour $u$~:

\item{} $\bullet$ On pose
$$
   u (x) = ax+b 
     \qquad {\rm d'où} \qquad
   u' (x) = a, 
      \qquad
   g (x) = (ax+b) e^{-x},
      \qquad
   g' (x) = (-ax + a-b) e^{-x}.
$$
En calculant $g' + g$, il vient alors
$$
   g' + g = a e^{-x} 
$$
On voit que si l'on veut obtenir une solution de $(E)$, il faudra
prendre $a=-1$ (et donc $g= -xe^{-x}$), mais cela ne suffira pas. 

\item{} $\bullet$ Après un peu de réflexion, on s'aperçoit qu'il faut
ajouter une constante convenable et que la fonction $g$ définie
par $g (x) = 1 - x e^{-x}$ est une solution particulière de l'équation
$(E)$. Autrement dit, si on prend pour 
$u$ la fonction définie par \dresultat{u (x) = e^x - x}, alors la
fonction $g$ définie par $g (x) = u (x) e^{-x}$ est une solution
particulière de $(E)$ (car $(
e^x - x) e^{-x} = 1 - x e^{-x}$).

\itemnum L'ensemble des solutions de $(E)$ est obtenu en ajoutant une
solution particulière de $(E)$ à la solution générale de $(E_0)$. Ici
on obtient donc pour solution de $(E)$ toutes les fonctions $g$ ayant
une définition du type
$$
   \dresultat{g (x) = 1 + (k-x) e^{-x}},
      \qquad {\rm où} \quad
   k \in \rset.
$$

\itemnum Si $g$ est une solution de $(E)$, on aura alors $g' (x) =
      (x-k-1) e^{-x}$, et $g' (0) = -k - 1$. Pour avoir $g' (0) =
      0$, il faut donc prendre $k = -1$, d'où la solution cherchée
$$
   \dresultat{g (x) = 1 - (x+1) e^{-x}},
$$
qui est bien la fonction proposée dans la deuxième partie du problème.

\clearnumno \bigskip

{\bf B.}  On considère la fonction $g$ définie sur $\rset$ par \quad
$
   g (x) = 1 - (x+1) e^{-x} 
$

\itemnum On a évidemment $\dresultat{\lim_{x \rightarrow -\infty} g (x) =
+\infty}$ puisque $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{-x} =
+\infty$. Et on a \dresultat{\lim_{x \rightarrow +\infty} g (x) = 1}
puisque $g (x) = 1 - xe^{-x} + e^{-x}$ avec $\displaystyle \lim_{x
\rightarrow +\infty} e^{-x} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow
+\infty} xe^{-x} = 0$ (cf cours). Pour la dernière limite, on peut
également partir de l'écriture $g (x) = 1 - (x+1) e^{-x}$ et invoquer
le fait que lorsque $x$ tend vers l'infini, l'exponentielle l'emporte
sur le polynôme $(x+1)$.

\itemnum On a \mresultat{g' (x) = x e^{-x}}, qui est
\tresultat{toujours du signe de $x$} puisque l'exponentielle est
toujours strictement positive. On obtient alors le tableau de
variations suivant~:
$$\vbox{
\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule& $-\infty$&& $0$&& $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $g' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $-$& $0$& $+$ 
   \cr
   \noalign{\hrule}
         \bbuucenter{$g (x)$}& \vrule& \bbuup{$+\infty$}\hfill& 
         \bbrightddownarrow & \down{$0$}& 
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$1$}%
   \cr 
}}
$$

\def \epspath{%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}

$$
   \superboxepsillustrate{equ1_010.ps}
$$

\itemalphnum Pour calculer l'intégrale $I$, on procède à une intégration
par parties en posant $U = (x+1)$ et $V' = e^{-x}$, on a alors $U' =
1$ et $V = -e^{-x}$. Il vient alors 
$$
   I = \int_{-1}^2 (x+1) e^{-x} \, dx 
      = \left[ - (x+1) e^{-x} \right]_{-1}^2 - \int_{-1}^2 -e^{-x} \,
      dx
      = -3e^{-2} - \left[ e^{-x} \right]_{-1}^2
      = \dresultat{e - 4 e^{-2} = I}
$$

\itemalph L'intégrale $I$ est une mesure, en unités d'aire, de $\cal
      A$. L'unité graphique étant de $2$~cm sur $Ox$ et $2$~cm sur
      $Oy$, on a ${\cal A} = 4 \times (e - 4 e^{-2})$, soit
$$
   \dresultat{{\cal A} = \left( 4e - {16 \over e^2} \right) {\rm cm}^2}.
$$

\itemalph Un encadrement de $\cal A$ est donc, par exemple
$$
   \dresultat{0, 70 \leq {\cal A} \leq 0, 71}
$$

\fincorrige