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Source de equ1_011.tex

Fichier TeX
Image JPEG
\exo {\'Equation différentielle du premier ordre à coefficients constants}

Les deux parties sont indépendantes

\medskip

{\bf Partie A -} L'objectif de cette partie est la résolution de
l'équation différentielle 
$$
   y' + y = e^{-x}
\leqno
   (E)
$$$y$ est une fonction, définie sur $\rset$, de la variable $x$, et
$y'$ la dérivée de $y$.

\itemnum Résoudre sur $\rset$ l'équation différentielle
$$
   y' + y = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Déterminer le nombre réel $a$ tel que la fonction $g$ définie
par $g (x) = ax e^{-x}$ soit solution de $(E)$.

\itemnum Donner les solutions de l'équation $(E)$ sur $\rset$.

\itemnum Déterminer la fonction $f$, solution de $(E)$, qui vérifie $f
(0) = 1$.

\clearnumno

\medskip

{\bf Partie B -} L'objectif de cette partie est l'étude d'une
fonction.

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\rset$ par
$$
   f (x) = (x+1) e^{-x}.
$$

\itemnum Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

\itemnum \'Etudier les variations de la fonction $f$. 

\itemnum Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans
un repère orthogonal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$ (unités
gra\-phi\-ques~: 1~cm sur $Ox$ et 10~cm sur $Oy$). {\sl Note\/}~: pour les
unités graphiques, on pourra utiliser des grands carreaux plutôt que
des cm.

\finexo

\corrige{}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
%
\vskip -5mm

\itemnum D'après le cours, les solutions de $(E_0)$ sont toutes les
fonctions $y$ du type 
$$
   \mresultat{y = ke^{-x}, \quad k \in \rset}.
$$

\itemnum Si $g$ est la fonction définie par $g (x) = ax e^{-x}$, alors
$g' (x) = (-ax + a) e^{-x}$, et on a $g' + g = a e^{-x}$. Pour que $g$
soit solution de l'équation $(E)$, il faut donc prendre $a =
1$. La fonction $g$ définie par \dresultat {g (x) = x e^{-x}} est alors une solution
particulière de $(E)$.

\itemnum Pour avoir la solution générale de $(E)$, il suffit d'ajouter
une solution particulière de $(E)$ à la solution générale de
$(E_0)$. Les solutions de $(E)$ sont donc toutes les fonctions $y$ du
type
$$
   \dresultat{y = (x+k) e^{-x}, \quad k \in \rset}
$$

\itemnum Si $f$ est une solution de $(E)$, son écriture est de la
forme $y = (x+k) e^{-x}$ pour une certaine constante réelle $k$. Comme
$f (0) = k$ et que l'on veut $f (0) = 1$, on voit que la seule
fonction répondant à la question posée est la fonction $f$ définie par
$$
   \mresultat{f (x) = (x+1) e^{-x}}.
$$

\partie {B}
%
\vskip -5mm

\itemnum En écrivant $f (x) = xe^{-x} + e^{-x}$, on a facilement que
\dresultat{\lim_{x \rightarrow +\infty} f (x) = 0} (car $\displaystyle
\lim_{-\infty} xe^x = 0$, cf formulaire).

\item{} En $-\infty$, la limite n'est pas indéterminée, et on a
\dresultat{\lim_{x \rightarrow -\infty} f (x) = -\infty}.

\itemnum On a \mresultat{f' (x) = -xe^{-x}}, du signe de $-x$ car
l'exponentielle est toujours positive. D'où le tableau de variations
et la courbe~:

\def \epspath{%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}

\epsfxsize = 60 truemm

$$\vcenter{
\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt & $-\infty$&& $0$&& $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $+$& $0$& $-$ 
   \cr
   \noalign{\hrule}
         \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& \down{$-\infty$}\hfill& 
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$1$}&
         \bbrightddownarrow & \down{$0$}
   \cr
}}
      \qquad
   \vcenter{\superboxepsillustrate{equ1_011.ps}}
$$


 

\fincorrige