\exo{\'Equation différentielle du premier ordre à coefficients non constants} On considère l'équation différentielle $$ xy' - y = -x^2 e^{-x} \leqno (E) $$ où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $]0, +\infty[$, et où $y'$ est la dérivée de $y$. \itemnum Vérifier que la fonction $s$, définie sur l'intervalle $]0, +\infty[$ par $s (x) = xe^{-x}$ est solution de l'équation $(E)$. \itemnum Résoudre sur $]0, +\infty[$ l'équation différentielle $$ xy' - y = 0 \leqno (E_0) $$ \itemnum Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $]0, +\infty[$. \itemnum Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ sur $]0, +\infty[$ vérifiant la condition $\displaystyle g (1) = 1 + {1 \over e} $ \finexo \corrige{} \itemnum Si la fonction $s$ est définie par $s (x) = xe^{-x}$, alors $s' (x) = (1-x) e^{-x}$. Il vient alors $$ xs' - s = (x -x^2 -x) e^{-x} = -x^2 e^{-x}. $$ Ce qui prouve que \tresultat{la fonction $s$ est bien une solution particulière de $(E)$}. \itemnum Il vient $$ (E_0) \qquad \qquad xy' - y = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad y' = {1\over x} y. $$ Le cours nous dit que les solutions de $(E_0)$ sont toutes les fonctions du type $y = ke^{A (x)}$ où $k \in \rset$ et $A$ primitive de $1/x$. Autrement dit, les solutions de $(E_0)$ sont toutes les fonctions $y$ qui s'écrivent $$ y (x) = ke^{\ln x}, \quad k \in \rset, \qquad \hbox {soit encore} \qquad \dresultat{y (x) = kx, \quad k \in \rset} $$ puisque $\ln x$ est une primitive de $1/x$ et que $e^{\ln x} = x$. \itemnum Pour avoir la solution générale de $(E)$, il suffit d'ajouter une solution particulière de $(E)$ à la solution générale de $(E_0)$. En utilisant les questions précédentes, on obtient que les solutions de l'équation $(E)$ sont toutes les fonctions $y$ ayant une écriture de la forme $$ \dresultat{y (x) = x (k + e^{-x}), \quad k \in \rset}. $$ \itemnum Si $g$ est solution de $(E)$, alors $g$ est définie par une expression du type $g (x) = x (k + e^{-x})$ pour un certain réel $k$. On a alors $g (1) = k + {1 \over e}$. Pour avoir la solution $g$ cherchée, il faut donc prendre $k=1$ pour obtenir $$ \mresultat{g (x) = x (1 + e^{-x})}. $$ \fincorrige