\exo{\'Equation différentielle du premier ordre avec un cosinus} On considère l'équation différentielle $$ 3x' - 2x = -20 \cos 2t \leqno (E) $$ où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\rset$, et où $x'$ est la fonction dérivée de $x$. \itemitemalphnum Résoudre l'équation différentielle $$ 3x' - 2x = 0 \leqno (E_0) $$ \itemitemalph Déterminer une solution particulière de $(E)$ sous la forme $$ x (t) = A \cos 2t + B \sin 2t. $$ \itemitemalph Résoudre l'équation $(E)$. \itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f (0) = 0$. \finexo \corrige \itemalphnum On a $3x' - 2x = 0$ \quad $\Longleftrightarrow$ \quad $x' - {2\over3} x = 0$. Les solutions de $(E_0)$ sont donc toutes les fonctions $x$ ayant une écriture du type \dresultat{x (t) = k e^{2t \over 3}} où $k$ désigne une constante réelle quelconque. \itemalph Si $x (t) = A \cos 2t + B \sin 2t$, alors $x' (t) = -2A \sin 2t+ 2B \cos 2t$. En reportant dans l'équation $(E)$, il vient alors $$ 3x' - 2x = (6B - 2A) \cos 2t - (6A + 2B) \sin 2t = -20 \cos 2t. $$ En identifiant les coefficients des deuxièmes et troisièmes membres, et en simplifiant par 2, on obtient le système $$ \cases{ 3B - A = -10 \cr 3A + B = 0 \cr} \qquad \Longrightarrow \qquad ^{(L_1 \leftarrow 3L_1 + L_2)} \quad \cases{ 10B = -30 \cr 3A + B = 0 \cr} \qquad \Longrightarrow \qquad \cases{ B = -3 \cr A = 1 \cr} $$ d'où la solution particulière de $(E)$ cherchée \dresultat{x (t) = \cos 2t - 3 \sin 2t}. \itemalph Pour avoir la solution générale de $(E)$, il suffit d'additionner la solution générale de $(E_0)$ à une solution particulière de $(E)$. Ici, les solutions de $(E)$ sont toutes les fonctions $x$ ayant une écriture du type $$ \dresultat{x (t) = \cos 2t - 3 \sin 2t + k e^{2t \over 3} } $$ où $k$ désigne une constante réelle quelconque. \itemnum Si $f$ est une solution de $(E)$, alors $f$ possède une écriture comme celle donnée ci-dessus, et on a alors $f (0) = 1 + k$. Si on a $f (0) = 0$, c'est donc que $k = -1$, et la solution articulière $f$ cherchée s'écrit $$ \dresultat{x (t) = \cos 2t - 3 \sin 2t - e^{2t \over 3} } $$ \fincorrige