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Source de equ1_014.tex

Fichier TeX
\exo{\'Equation du premier ordre à coefficients non constants}

L'objectif de cette partie est la résolution de
l'équation différentielle 
$$
   -x y' + 2y = 4x + 12
\leqno
   (E)
$$

\itemnum Résoudre dans $\rset$ l'équation différentielle
$$
   -x y' + 2y = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la
fonction $g$ définie sur $\rset $ par
$$
   g (x) = ax + b
$$
soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\itemnum En déduire la solution générale de $(E)$.

\finexo

\corrige{}

\item{$\bullet$} Si on note $(E_0)$ l'équation sans second membre, on
a 
$$
   (E_0)
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   y' - {2\over x} y = 0
$$
et le cours nous dit que les solutions sont toutes les fonctions $y$
ayant une écriture du type
$$
   y (x) = k e^{F (x)}
$$$F$ est une primitive de la fontion $\displaystyle {2\over x}$ et
$k$ une constante réelle quelconque. Ici, en choisissant la fonction
$F$ définie par $F (x) = 2 \ln x = \ln (x^2)$, on trouve que les
solutions de $(E_0)$ sont toutes les fonctions s'écrivant
$$
   \mresultat{y (x) = k x^2}
      \qquad
   \hbox{où $k$ réel quelconque.}
$$

\item{$\bullet$} Cherchons une solution particulière $h$ de $(E)$ sous
      la forme d'un polynôme du premier degré. On pose $h (x) = ax + b$
      avec $a$ et $b$ constantes réelles. On a alors $h' (x) = a$ et
      il vient
$$
   -x h' + 2h = (2a - a) x + 2b = ax + 2b.
$$ 
On voit donc que la fonction $h$ définie par \mresultat{h (x) = 4x +
6} est une solution particulière de $(E)$.

\item{$\bullet$} Finalement, les solutions de $(E)$ sont toutes les
fonctions $y$ ayant une écriture de la forme
$$
   \dresultat{y (x) = k x^2 + 4x + 6}
      \qquad
   \hbox{où $k$ réel quelconque.}
$$

\fincorrige