\exo{\'Equation du premier ordre à coefficients non constants} L'objectif de cette partie est la résolution de l'équation différentielle $$ -x y' + 2y = 4x + 12 \leqno (E) $$ \itemnum Résoudre dans $\rset$ l'équation différentielle $$ -x y' + 2y = 0 \leqno (E_0) $$ \itemnum Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la fonction $g$ définie sur $\rset $ par $$ g (x) = ax + b $$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \itemnum En déduire la solution générale de $(E)$. \finexo \corrige{} \item{$\bullet$} Si on note $(E_0)$ l'équation sans second membre, on a $$ (E_0) \qquad \Longleftrightarrow \qquad y' - {2\over x} y = 0 $$ et le cours nous dit que les solutions sont toutes les fonctions $y$ ayant une écriture du type $$ y (x) = k e^{F (x)} $$ où $F$ est une primitive de la fontion $\displaystyle {2\over x}$ et $k$ une constante réelle quelconque. Ici, en choisissant la fonction $F$ définie par $F (x) = 2 \ln x = \ln (x^2)$, on trouve que les solutions de $(E_0)$ sont toutes les fonctions s'écrivant $$ \mresultat{y (x) = k x^2} \qquad \hbox{où $k$ réel quelconque.} $$ \item{$\bullet$} Cherchons une solution particulière $h$ de $(E)$ sous la forme d'un polynôme du premier degré. On pose $h (x) = ax + b$ avec $a$ et $b$ constantes réelles. On a alors $h' (x) = a$ et il vient $$ -x h' + 2h = (2a - a) x + 2b = ax + 2b. $$ On voit donc que la fonction $h$ définie par \mresultat{h (x) = 4x + 6} est une solution particulière de $(E)$. \item{$\bullet$} Finalement, les solutions de $(E)$ sont toutes les fonctions $y$ ayant une écriture de la forme $$ \dresultat{y (x) = k x^2 + 4x + 6} \qquad \hbox{où $k$ réel quelconque.} $$ \fincorrige