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Source de equ1_015.tex

Fichier TeX
\exo{\'Equation du premier ordre à coefficients constants}

On considère l'équation différentielle
$$
   x' - 4x = 2 e^{3t}
\leqno
   (E)
$$
où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie
et dérivable sur $\rset$, et où $x'$ est la fonction dérivée de $x$.

\itemnum Résoudre l'équation différentielle
$$
   x' - 4x = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Déterminer une solution particulière $h$ de $(E)$ sous la
forme $h (t) = a e^{3t}$$a$ est une constante réelle à déterminer.

\itemnum En déduire la solution générale de $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$ vérifiant la
condition initiale $f (0) = 0$.

\finexo

\corrige{}

\itemnum D'après le cours, la solution générale de $(E_0)$ est
l'ensemble des fonctions ayant une écriture du type \mresultat{x (t) =
k e^{4t}} où $k$ est une constante réelle quelconque.

\itemnum Posons $h (t) = ae^{3t}$, alors $h' (t) = 3ae^{3t}$, et $h' - 4h =
\big( 3a - 4a \big) e^{3t} = -a e^{3t}$. Pour avoir une solution
particulière de $(E)$, on doit donc prendre $a = -2$, soit
\mresultat{h (t) = -2 e^{3t}}

\itemnum Est donc solution de $(E)$ toute fonction ayant une écriture
du type 
$$
   \mresultat{x (t) =  -2 e^{3t} + k e^{4t}},
$$
$k$ étant une *constante réelle quelconque.

\itemnum Si $f$ solution de $(E)$, alors $f$ est définie par une
expression du type $f (t) =  -2 e^{3t} + k e^{4t}$ pour une certaine
valeur de la constante $k$. Comme on a $f (0) = 0$, cela implique donc
$-2 + k = 0$ c'est à dire $k = 2$. Finalement, la solution cherchée
est donc définie sur $\rset$ par \dresultat{f (t) =  -2 e^{3t} + 2
e^{4t}}, soit encore \dresultat{f (t) = 2 e^{3t} \big( e^t - 1 \big)}

\fincorrige