\exo{\'Equation du premier ordre à coefficients constants} On considère l'équation différentielle $$ x' - 4x = 2 e^{3t} \leqno (E) $$ où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\rset$, et où $x'$ est la fonction dérivée de $x$. \itemnum Résoudre l'équation différentielle $$ x' - 4x = 0 \leqno (E_0) $$ \itemnum Déterminer une solution particulière $h$ de $(E)$ sous la forme $h (t) = a e^{3t}$ où $a$ est une constante réelle à déterminer. \itemnum En déduire la solution générale de $(E)$. \itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f (0) = 0$. \finexo \corrige{} \itemnum D'après le cours, la solution générale de $(E_0)$ est l'ensemble des fonctions ayant une écriture du type \mresultat{x (t) = k e^{4t}} où $k$ est une constante réelle quelconque. \itemnum Posons $h (t) = ae^{3t}$, alors $h' (t) = 3ae^{3t}$, et $h' - 4h = \big( 3a - 4a \big) e^{3t} = -a e^{3t}$. Pour avoir une solution particulière de $(E)$, on doit donc prendre $a = -2$, soit \mresultat{h (t) = -2 e^{3t}} \itemnum Est donc solution de $(E)$ toute fonction ayant une écriture du type $$ \mresultat{x (t) = -2 e^{3t} + k e^{4t}}, $$ $k$ étant une *constante réelle quelconque. \itemnum Si $f$ solution de $(E)$, alors $f$ est définie par une expression du type $f (t) = -2 e^{3t} + k e^{4t}$ pour une certaine valeur de la constante $k$. Comme on a $f (0) = 0$, cela implique donc $-2 + k = 0$ c'est à dire $k = 2$. Finalement, la solution cherchée est donc définie sur $\rset$ par \dresultat{f (t) = -2 e^{3t} + 2 e^{4t}}, soit encore \dresultat{f (t) = 2 e^{3t} \big( e^t - 1 \big)} \fincorrige