\exo{La solution particulière est une fonction exponentielle} On considère l'équation différentielle $$ x y' - 2 (x+1) y = 2 e^{2x} \leqno (E) $$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $]0, +\infty[$, et $y'$ sa dérivée première. \itemnum Résoudre sur $]0, +\infty[$ l'équation différentielle $$ x y' - 2 (x+1) y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemnum Déterminer le réel $\alpha$ tel que la fonction $g$ définie par $g (x) = \alpha e^{2x}$ soit solution de $(E)$. \itemnum En déduire, sur $]0, +\infty[$, la solution générale de $(E)$. \itemnum Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f (1) = -3e^2 / 4$. \finexo