\exo {Calcul d'un moment d'inertie, {\sl Bts maintenance industrielle}, $1996$} \centerline{\sl Les parties {\bf I} et {\bf II} peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.} \let \partie \centerpartie \partie{I - Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle $$ (1+t^2) x' + 2tx = 0 \leqno (E) $$ où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\rset$, et où $x'$ est la fonction dérivée de $x$. \itemnum Résoudre dans $\rset$ l'équation différentielle $(E)$. \itemnum Déterminer la fonction $f$, solution particulière de l'équation $(E)$, vérifiant $f (0) = 1$. \partie{II - Calcul intégral} On pose $$ A = \int_0^1 {1\over 1+t^2} \, dt, \qquad B = \int_0^1 {t \over 1+t^2} \, dt, \qquad {\rm et} \qquad C = \int_0^1 {t^2 \over 1+t^2} \, dt, $$ \itemitemalphnum Montrer que $\displaystyle{A = {\pi \over4}}$. \itemitemalph Montrer que $\displaystyle{B = {1\over2} \ln 2}$. \itemitemalphnum Vérifier que, pour tout nombre réel $t$, on a $$ {t^2 \over 1+t^2} = 1 - {1 \over 1+t^2}. $$ \itemitemalph Déduire du {\bf 1.} la valeur exacte de $C$. \partie{III - Application} Dans un repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$, on considère la courbe représentative $\cal C$ de la fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par $$ f (t) = {1\over 1+t^2}. $$ Une plaque homogène est délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\cal C$ et les droites d'équations $t = 0$ et $t = 1$. Le moment d'inertie de cette plaque par rapport à la droite d'équation $t=1$ est donné par $$ M = \int_0^1 (1-t)^2 f (t) \, dt. $$ \itemnum Montrer que $M = A - 2B + C$. \itemnum \`A l'aide de la partie {\bf II}, calculer la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$~près de $M$. (Le tracé de la courbe $\cal C$ n'est pas demandé.) \finexo \corrige{} \let \partie \centerpartie %\llappartie \partie{I} % \num\ Comme $1+t^2 \neq 0$ pour tout réel $t$, l'équation différentielle $(E)$ est équivalente à l'équation différentielle $$ x' = - {2t \over 1+t^2} x $$ dont on sait que les solutions sont toutes les fonctions $x$ du type $$ x = k e^{F (t)} \qquad {\rm où} \qquad k \hbox{ constante réelle arbitraire} \quad {\rm et} \qquad F \hbox{ primitive de la fonction } {-2t \over 1+t^2}. $$ Dans l'écriture $2t/(1+t^2)$, on reconnaît une expression du type $u'/u$ avec $u (t) = 1 + t^2$. Pour primitive $F$, on peut donc choisir la fonction définie pour tout réel $t$ par $F (t) = -\ln (1+t^2)$. Finalement, les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont toutes les fonctions $x$ ayant une écriture du type $$ x (t) = k e^{ -\ln (1+t^2)} = k e^{\ln \left( {1 \over 1+t^2} \right)} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{x (t) = {k \over 1+t^2} \quad {\rm où} \quad k \hbox{ constante réelle arbitraire}} $$ \num\ Si $f (t) = k / (1+t^2)$ pour un certain réel $k$, avec $f (0) = 1$, c'est que $k = 1$ d'où la fonction $f$ cherchée~: \dresultat{f (t) = {1\over 1 + t^2}}. \partie{II} % \alphnum\ On a facilement $$ A = \int_0^1 {1\over 1+t^2} \, dt, = \big[ \arctan t\big]_0^1 = {\pi \over4} - 0 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{A = {\pi \over4}} $$ \alph\ Dans l'écriture $1/(1+t^2)$, on reconnaît une expression du type ${1\over2} \times {u'\over u}$ avec $u = 1+t^2$. On a donc $$ B = \int_0^1 {t \over 1+t^2} \, dt, = {1\over2} \big[\ln (1+t^2) \big]_0^1 = {1\over2} \big[\ln 2 - 0 \big] \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{B = {1\over2} \ln 2} $$ \alphnum\ Il suffit de réduire le second membre au même dénominateur pour vérifier l'égalité proposée. \alph\ On a donc $$\eqalign{ C &= \int_0^1 {t^2 \over 1+t^2} \, dt = \int_0^1 1 - {1\over 1+t^2} \, dt \cr &= \int_0^1 \, dt - \int_0^1 {1\over 1+t^2} \, dt \cr &= 1 - A \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{C = 1 - {\pi \over 4}} \cr }$$ \partie{III} % \num\ On a $$\eqalign{ M &= \int_0^1 (1-t)^2 f (t) \, dt = \int_0^1 {(1-t)^2 \over 1+t^2} \, dt = \int_0^1 {1-2t + t^2 \over 1+t^2} \, dt \cr &= \int_0^1 {1\over 1+t^2} \, dt -2 \int_0^1 {t \over 1+t^2} \, dt + \int_0^1 {t^2 \over 1+t^2} \, dt \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{M = A - 2B + C} \cr }$$ \num\ D'où \dresultat{M = 1 - \ln2 \approx 0, 307} \bigskip \fincorrige