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Source de equ1_021.tex

Fichier TeX
\exo {Calcul d'un moment d'inertie, {\sl Bts maintenance industrielle}, $1996$}

\centerline{\sl Les parties {\bf I} et {\bf II} peuvent être traitées
indépendamment l'une de l'autre.}

\let \partie \centerpartie

\partie{I - Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle
$$
   (1+t^2) x' + 2tx = 0
\leqno
   (E)
$$
où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie
et dérivable sur $\rset$, et où $x'$ est la fonction dérivée de $x$.

\itemnum Résoudre dans $\rset$ l'équation différentielle $(E)$.

\itemnum Déterminer la fonction $f$, solution particulière de
l'équation $(E)$, vérifiant $f (0) = 1$.

\partie{II - Calcul intégral}

On pose
$$
   A = \int_0^1 {1\over 1+t^2} \, dt,
      \qquad
   B = \int_0^1 {t \over 1+t^2} \, dt,
      \qquad {\rm et} \qquad
   C = \int_0^1 {t^2 \over 1+t^2} \, dt,
$$

\itemitemalphnum Montrer que $\displaystyle{A = {\pi \over4}}$.

\itemitemalph Montrer que $\displaystyle{B = {1\over2} \ln 2}$.

\itemitemalphnum Vérifier que, pour tout nombre réel $t$, on a
$$
   {t^2 \over 1+t^2} = 1 - {1 \over 1+t^2}.
$$

\itemitemalph Déduire du {\bf 1.} la valeur exacte de $C$.

\partie{III - Application}

Dans un repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$, on
considère la courbe représentative $\cal C$ de la fonction $f$ définie
sur $[0, 1]$ par
$$
   f (t) = {1\over 1+t^2}.
$$

Une plaque homogène est délimitée par l'axe des abscisses, la courbe
$\cal C$ et les droites d'équations $t = 0$ et $t = 1$.

Le moment d'inertie de cette plaque par rapport à la droite d'équation
$t=1$ est donné par
$$
   M = \int_0^1 (1-t)^2 f (t) \, dt.
$$

\itemnum Montrer que $M = A - 2B + C$.

\itemnum \`A l'aide de la partie {\bf II}, calculer la valeur exacte
puis une valeur approchée à $10^{-3}$~près de $M$. (Le tracé de la
courbe $\cal C$ n'est pas demandé.)

\finexo

\corrige{}

\let \partie \centerpartie %\llappartie

\partie{I}
%
\num\ Comme $1+t^2 \neq 0$ pour tout réel $t$, l'équation
différentielle $(E)$ est équivalente à l'équation différentielle
$$
   x' = - {2t \over 1+t^2} x 
$$
dont on sait que les solutions sont toutes les fonctions $x$ du type
$$
   x = k e^{F (t)}
      \qquad {\rm où} \qquad
   k \hbox{ constante réelle arbitraire} 
      \quad {\rm et} \qquad
   F \hbox{ primitive de la fonction } {-2t \over 1+t^2}.
$$
Dans l'écriture $2t/(1+t^2)$, on reconnaît une expression du type
$u'/u$ avec $u (t) = 1 + t^2$. Pour primitive $F$, on peut donc
choisir la fonction définie pour tout réel $t$ par $F (t) = -\ln
(1+t^2)$. Finalement, les solutions de l'équation 
différentielle $(E)$ sont toutes les fonctions $x$ ayant une écriture
du type 
$$
   x (t) = k e^{ -\ln (1+t^2)} = k e^{\ln \left( {1 \over 1+t^2} \right)}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{x (t) = {k \over 1+t^2} 
      \quad {\rm où} \quad
   k \hbox{ constante réelle arbitraire}}
$$

\num\ Si $f (t) = k / (1+t^2)$ pour un certain réel $k$, avec $f (0)
      = 1$, c'est que $k = 1$ d'où la fonction $f$ cherchée~:
      \dresultat{f (t) = {1\over 1 + t^2}}.

\partie{II}
%
\alphnum\ On a facilement
$$
   A = \int_0^1 {1\over 1+t^2} \, dt,
      = \big[ \arctan t\big]_0^1
      = {\pi \over4} - 0
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{A = {\pi \over4}}
$$

\alph\ Dans l'écriture $1/(1+t^2)$, on reconnaît une expression du
      type ${1\over2} \times {u'\over u}$ avec $u = 1+t^2$. On a donc
$$
   B = \int_0^1 {t \over 1+t^2} \, dt,
      = {1\over2} \big[\ln (1+t^2) \big]_0^1
      = {1\over2} \big[\ln 2 - 0 \big]
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{B = {1\over2} \ln 2}
$$

\alphnum\ Il suffit de réduire le second membre au même
      dénominateur pour vérifier l'égalité proposée.

\alph\ On a donc
$$\eqalign{
   C &= \int_0^1 {t^2 \over 1+t^2} \, dt
      = \int_0^1 1 - {1\over 1+t^2} \, dt
\cr
   &= \int_0^1 \, dt - \int_0^1 {1\over 1+t^2} \, dt
\cr
   &= 1 - A 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{C = 1 - {\pi \over 4}}
\cr
}$$

\partie{III}
%
\num\ On a
$$\eqalign{
   M &= \int_0^1 (1-t)^2 f (t) \, dt
      = \int_0^1 {(1-t)^2 \over 1+t^2} \, dt
      = \int_0^1 {1-2t + t^2 \over 1+t^2} \, dt
\cr
   &= \int_0^1 {1\over 1+t^2} \, dt -2 \int_0^1 {t \over 1+t^2} \, dt
   + \int_0^1 {t^2 \over 1+t^2} \, dt 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{M =  A - 2B + C}
\cr
}$$

\num\ D'où \dresultat{M = 1 - \ln2 \approx 0, 307}

\bigskip

\fincorrige