\exo {Méthode de la \og variation de la constante\fg } Le but de l'exercice est la résolution de l'équation différentielle $$ x (x^2 + 1) y' - 2y = x^3 (x-1)^2 e^{-x}, \leqno (E) $$ où $y$ représente une fonction de la variable réelle $x$, dérivable sur l'intervalle $]0, +\infty [$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$. \itemitemalphnum Déterminer les trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0, +\infty [$~: $$ {2 \over x (x^2 + 1)} = {a \over x} + {bx + x \over x^2 + 1}. $$ \itemitemalph En déduire une primitive sur l'intervalle $]0, +\infty [$ de la fonction $$ x \mapsto {2 \over x (x^2 + 1)}. $$ \itemnum Résoudre sur l'intervalle $]0, +\infty [$ l'équation différentielle $$ x (x^2 + 1) y' - 2y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemnum On se propose de déterminer une fonction $g$ dérivable sur l'intervalle $]0, +\infty [$ telle que la fonction $h$ définie par $$ h (x) = {x^2 \over x^2+1} g (x) $$ soit une solution particulière de l'équation $(E)$. \itemitemalph Montrer que, pour qu'il en soit ainsi, on doit avoir $$ g' (x) = (x-1)^2 e^{-x}. $$ \itemitemalph Déterminer les nombres réels $\alpha $, $\beta $ et $\gamma $ tels que la fonction $x \mapsto (\alpha x^2 + \beta x + \gamma )$ soit une primitive sur l'intervalle $]0, +\infty [$ de la fonction $$ x \mapsto (x-1)^2 e^{-x}. $$ \itemitemalph En déduire une solution particulière de l'équation $(E)$ puis la solution générale de l'équation $(E)$. \finexo