\exo {Le parachute, {\rm Bts Mécanique et Automatismes Industriels}, {\sl 1991}} La trajectoire suivie par un objet relié à un parachute est un axe vertical noté $(O, \vec \imath )$. \` A un instant donné, le vecteur vitesse $\overrightarrow {V}$ de l'objet est défini par $\overrightarrow {V} (t) = v (t) \vec \imath $ où $v$ est une fonction de la variable réelle positive $t$. Dans ces conditions de l'expérience, le vecteur $\overrightarrow {R}$ représentant la résistance de l'air est défini par $\overrightarrow {R} = -k\overrightarrow {V}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif. On admet que la fonction $v$ vérifie l'équation différentielle $$ mv' (t) + k v (t) = mg \leqno (1) $$ où $m$ est la masse totale de l'objet et du parachute et $g$ le coefficient de l'accélération de la pesanteur. \itemitemalphnum Montrer qu'il existe une fonction constante, solution particulière de $(1)$; \itemitemalph Montrer que les fonctions solutions de $(1)$ sont définies pour tout nombre réel positif $t$ par~: $$ v (t) = Ce^{-{k\over m} t} + {mg\over k} $$ où $C$ est une constante réelle dépendant des conditions de l'expérience. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \epsfxsize = 60mm $$ \epsillustrate {equ1_023a.ps} $$ \itemnum Dans la suite du problème on prendra $m = 8\kg $, $g = 10$~ms$^{-2}$ et $k = 25$~unités SI. \itemitemalph Donner la fonction particulière $v_1$ solution de l'équation différentielle $(1)$ cor\-res\-pon\-dant à une vitesse initiale $v (0) = v_0$ de $5$~ms$^{-1}$. \itemitemalph Donner la fonction particulière $v_2$ solution de l'équation différentielle $(1)$ cor\-res\-pon\-dant à une vitesse initiale nulle. \itemitemalph Montrer que les fonctions $v_1$ et $v_2$ ont la même limite $d$ lorsque $t$ tend vers $+\infty $. \itemitemalph Donner la solution particulière $v_3$ solution de l'équation différentielle $(1)$ cor\-res\-pon\-dant à une vitesse initiale $v (0) = w_0$ de $3, 2$~ms$^{-1}$. \itemitemalph Tracer soigneusement les courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ représentant respectivement les fonctions $v_1$, $v_2$ et $v_3$ dans un repère orthogonal $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$, où l'unité graphique est de 4~cm sur l'axe $Ox$, et 2~cm sur l'axe $Oy$. \finexo \corrige {} \`A résoudre l'équation différentielle $$ mv' + kv = mg. \leqno (1) $$ \itemalphnum Si $w$ est une fonction constante, solution de l'équation $(1)$, alors on aura bien sûr \dresultat {w (t) = {mg \over k}} puisque $w' = 0$. \itemalph On commence par résoudre l'équation sans second membre $(E_0)$~: $$ (E_0) \qquad mv' + kv = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad v' = - {k \over m}v $$ dont la solution générale est $v_0 (t) = C e^{-{k\over m}t }$ où $C$ est une constante réelle quelconque. Reste à ajouter une solution particulière de l'équation $(1)$. On obtient ainsi la solution générale de l'équation $(1)$~: $$ \dresultat {v (t) = C e^{-{k\over m}t} + {mg \over k} \quad \hbox {où $C$ est une constante réelle quelconque}}. $$ \itemnum Avec les valeurs numériques proposées par l'énoncé, l'équation $(1)$ s'écrit $$ \dresultat {(1) : \quad 8v' + 25 v = 80} \qquad \hbox {dont la solution générale est} \qquad \dresultat {v (t) = C e^{- {25 \over 8} t} + {16 \over 5}, \quad C \in \rset } $$ En particulier, on a \dresultat {v (0) = C + {16 \over 5}} \itemalph Si $v (0) = 5$, on obtient immédiatement $$ C = 5 - {16 \over 5} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {C = {9 \over 5}} \qquad {\rm et\ donc} \qquad \dresultat {v_1 (t) = {1 \over 5} \left( 9e^{-{25 \over 8} t } + 16\right)} $$ \itemalph Si $v (0) = 0$, on obtient $$ \dresultat {C = - {16 \over 5}} \qquad {\rm et\ donc} \qquad \dresultat {v_2 (t) = {16 \over 5} \left( 1 -e^{-{25 \over 8} t } \right)} $$ \everymath = {\displaystyle } \itemalph Comme $\lim _{x \to +\infty } e^{-x} = 0$, il est clair que l'on a \dresultat {\lim _{x \to +\infty } v_1 (t) = {16 \over 5} = \lim _{x \to +\infty } v_2 (t)}. \itemalph Enfin si $\displaystyle v (0) = {16 \over 5} = 3, 2$, on obtient $$ \dresultat {C = 0} \qquad {\rm et\ donc} \qquad \dresultat {v_3 (t) = {16 \over 5} = 3, 2} $$ \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \epsfxsize = 100mm \itemalph Pour tracer ces courbes, il faut évidemment étudier les variations des fonctions $v_1$, $v_2$ et $v_3$. On trouve $v'_1 (t) = - {45 \over 8} e^{- {25 \over 8} t}$ toujours négatif puisque l'exponentielle est toujours positive, et $v'_2 (t) = 10 e^{- {25 \over 8} t}$ qui est toujours positif. La fonction $v_3$ est quand à elle constante. D'où les tableaux de variations suivants~: $$ \dresultat {\vcenter {% \eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule depth 5pt & $0$&& $+\infty $% \cr \noalign{\hrule} $v_1' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $-$ \cr \noalign{\hrule} \bbucenter{$v_1 (x)$}& \vrule & \bbup {$5$}& \bbrightdownarrow & \down {$3, 2$} \cr }}} \qquad \qquad \qquad \dresultat {\vcenter {% \eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule depth 5pt & $0$&& $+\infty $% \cr \noalign{\hrule} $v_2' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $+$ \cr \noalign{\hrule} \bbucenter{$v_2 (x)$}& \vrule & \down{$0$}& \bbrightuparrow & \bbup{$3, 2$} \cr }}} $$ et les courbes~: $$ \superboxepsillustrate {equ1_023b.ps} $$ \fincorrige