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Source de equ1_025.tex

Fichier TeX
\exo {\' Equation différentielle d'ordre 1}

On considère l'équation différentielle
$$
   y - xy' = x^2 +1.
\leqno 
   (E)
$$

\itemnum Résoudre $(E_0)$, l'équation sans second membre associée à
l'équation $(E)$.

\itemnum Déterminer une solution particulière $g$ de $(E)$. (On pourra
chercher $g$ sous la forme d'un polynôme du second degré $g (x) = ax^2
+ bx + c$.)

\itemnum Résoudre l'équation $(E)$.

\finexo

\corrige {}

\itemnum Résolvons l'équation sans second membre $(E_0)$. On a
$$
   y - xy' = 0 
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   y' = {1\over x} \times y
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   y = k e^{\ln x} \quad \hbox {où $k$ constante réelle arbitraire}
$$
d'où la solution générale de $(E_0)$~: \tresultat {$y (x) = kx$ \quad$k$ constante réelle arbitraire} 

\itemnum Soit $g$ un polynôme de degré~2~: $g (x) = ax^2 + bx + c$. On
a alors $g' (x) = 2ax + b$ et $g'' (x) = 2a$. En écrivant maintenant
que $g$ est solution de l'équation $(E)$, il vient
$$
   g - xg' = x^2 + 1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   -ax^2 + c = x^2 + 1
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   (a, c) = (-1, 1)
$$
Une solution particulière de $(E)$ est donc le polynôme $g$ défini par
\dresultat {g (x) = -x^2 + 1}.

\itemnum La solution générale de $(E)$ est obtenue en additionant la
solution générale de $(E_0)$ à une solution particulière de
$(E)$. Ici, on obtient donc comme solution générale de $(E)$
l'ensemble des fonction $y$ ayant une écriture du type \dresultat {y
(x) = -x^2 + kx + 1} où $k$ est une constante réelle quelconque.

\fincorrige