\exo {\' Equation différentielle d'ordre 1} On considère l'équation différentielle $$ y - xy' = x^2 +1. \leqno (E) $$ \itemnum Résoudre $(E_0)$, l'équation sans second membre associée à l'équation $(E)$. \itemnum Déterminer une solution particulière $g$ de $(E)$. (On pourra chercher $g$ sous la forme d'un polynôme du second degré $g (x) = ax^2 + bx + c$.) \itemnum Résoudre l'équation $(E)$. \finexo \corrige {} \itemnum Résolvons l'équation sans second membre $(E_0)$. On a $$ y - xy' = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y' = {1\over x} \times y \quad \Longleftrightarrow \quad y = k e^{\ln x} \quad \hbox {où $k$ constante réelle arbitraire} $$ d'où la solution générale de $(E_0)$~: \tresultat {$y (x) = kx$ \quad où $k$ constante réelle arbitraire} \itemnum Soit $g$ un polynôme de degré~2~: $g (x) = ax^2 + bx + c$. On a alors $g' (x) = 2ax + b$ et $g'' (x) = 2a$. En écrivant maintenant que $g$ est solution de l'équation $(E)$, il vient $$ g - xg' = x^2 + 1 \quad \Longleftrightarrow \quad -ax^2 + c = x^2 + 1 \qquad {\rm d'où} \qquad (a, c) = (-1, 1) $$ Une solution particulière de $(E)$ est donc le polynôme $g$ défini par \dresultat {g (x) = -x^2 + 1}. \itemnum La solution générale de $(E)$ est obtenue en additionant la solution générale de $(E_0)$ à une solution particulière de $(E)$. Ici, on obtient donc comme solution générale de $(E)$ l'ensemble des fonction $y$ ayant une écriture du type \dresultat {y (x) = -x^2 + kx + 1} où $k$ est une constante réelle quelconque. \fincorrige