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Source de equ1_026.tex

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\exo {Un problème de synthèse}

{\sl L'objectif de cet exercice est d'étudier la solution $f$ définie
sur $\rset $, de la variable $x$, de l'équation différentielle~:
$$
   y' + y = (2x+3) e^{-x}
\leqno
   (E)
$$
vérifiant la condition initiale $f (0) = 1$.}

\let \partie \centerpartie

\partie {A - Résolution de l'équation différentielle}

\itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle
$$
   y' + y = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\rset $ par
$$
   g (x) = (x^2 + 3x) e^{-x}
$$
est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution $f$ de cette équation qui vérifie la
condition initiale $f (0) = 1$

\partie {B - \' Etude de la solution $f$}

Soit $f$ la fonction définie sur $\rset $ par~:
$$
   f (x) = (x^2 + 3x + 1) e^{-x}.
$$
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,
\vec \imath \vec \jmath \, )$ (unité graphique~: 1~cm).

\itemnum {\sl \' Etude des variations de la fonction $f$}

\itemitemalph Déterminer les limites de $f$ en $+\infty $ et en
$-\infty $.

\itemitemalph \' Etudier le sens de variation de $f$ et établir son
tableau de variation.

\itemnum {\sl Position relative de la courbe et de sa tangente au
voisinage du point $A$ d'abscisse $0$.}

\itemitemalph Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe
$C_f$ au point $A$ d'abscisse~0.

\itemitemalph \' Ecrire le développement limité d'ordre~2 de $f$ au
voisinage de~0. En déduire la position relative de $C_f$ et de $T$ au
voisinage du point $A$.

\itemitemalph Tracer $C_f$ et $T$ dans le repère $(O, \vec \imath \vec
\jmath \, )$.

\itemnum {\sl Calcul d'une aire}

\itemitemalph \` A l'aide d'une intégration par parties, déterminer une
primitive de la fonction $h$ définie sur $\rset $ par~:
$$
   h (x) = (2x+3) e^{-x}.
$$

\itemitemalph En se rappelant que la fonction $f$ est une solution de
l'équation différentielle $(E)$ et vérifie donc 
$$
   f' (x) + f (x) = (2x+3) e^{-x}
$$
et en utilisant le résultat de la question précédente, déterminer une
primitive de $f$.

\itemitemalph Pour tout nombre réel $\alpha > 0$, on pose~:
$$
   I (\alpha ) = \int _0^\alpha f (x) \, dx.
$$
Calculer $I (\alpha )$. Déterminer la limite de $I (\alpha )$ lorsque
$\alpha $ tend vers $+\infty $. Donner une in\-ter\-pré\-ta\-tion graphique
de ces résultats.

\finexo

\corrige {}

\let \partie \llappartie


\partie {A}
\vskip -5mm

\itemnum Il vient
$$
   y' + y = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   y' = -y
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \tresultat {$y (x) = k e^{-x}$ où $k$ constante réelle quelconque}
$$

\itemnum On a
$$
   g (x) = (x^2 + 3x) e^{-x}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   g' (x) = (-x^2 - x + 3) e^{-x}.
$$
On vérifie alors facilement que $g' + g = (2x+3) e^{-x}$, ce qui
prouve que \tresultat {$g$ est solution particulière de $(E)$}.

\itemnum La solution générale de $(E)$ est alors $y (x) = g (x) + k e^{-x}$, soit
$$
   \tresultat {$y (x) = (x^2 + 3x + k) e^{-x}$ où $k$ constante réelle quelconque}
$$
 

\itemnum La fonction $f$ est solution de $(E)$. Elle s'écrit donc $f
(x) = (x^2 + 3x + k) e^{-x}$ pour un certain réel $k$. On aura donc en
particulier $f (0) = k$. Sachant que $f(0) = 1$, il vient alors
immédiatement \dresultat {f (x) = (x^2 + 3x + 1) e^{-x}}

\partie {B}
\vskip -5mm

\itemalphnum En $+\infty $, il vient
$$
   \lim _{x\to +\infty } f (x) 
      = \lim _{x\to +\infty } (x^2 + 3x + 1) e^{-x}
      = \lim _{x\to +\infty } x^2  e^{-x}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = 0}
$$
puisque $\lim _{x\to +\infty } x^2e^{-x}= 0$ d'après le cours, et que
$x^2 + 3x + 1 \sim x^2$ en $+\infty $.

\item {} Et en $-\infty $, il vient
$$
   \lim _{x\to -\infty } f (x) 
      = \lim _{x\to -\infty } (x^2 + 3x + 1) e^{-x}
      = \lim _{x\to -\infty } x^2 e^{-x}
      \quad {\rm d'où} \quad
   \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = +\infty }
      \quad {\rm puisque} \quad
   \cases {
      \lim _{x\to -\infty } x^2 = +\infty
   \cr
      \lim _{x\to -\infty } e^{-x} = +\infty
   \cr }
$$
et $x^2 + 3x + 1 \sim x^2$ en $-\infty $.

\itemalph  On trouve \dresultat {f' (x) = (-x^2 -x +2)e^{-x}}, du
      signe de $-x^2-x-1$ puisque $e^{-x}$ est toujours positif. \'
      Etudions le signe de $-x^2-x-1$ avec la méthode du
      discriminant~: on trouve $\Delta = 9$ et deux racines
      réelles, $x_1 = -2$ et $x_2 = 1$, et le polynôme est positif
      (signe de $-a$) entre ces racines. On a
      donc finalement le tableau de variation suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && -2&& 1&& +\infty 
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      f' (x)&& & - && + && - &
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \buup {$+\infty $}&
      \brightddownarrow & \down {$-e^2\approx -7, 39$}&
      \brightuuparrow & \buup {$5/e \approx 1, 83$}& 
      \brightddownarrow & \down{$0$}
   \cr
}}
}$$

\itemalphnum On a $f' (0) = 2$ et $f (0) = 1$ d'où l'équation de la
   tangente~: \dresultat {T~: y = 2x + 1}

\itemalph On sait que 
$$
   e^u = 1 + u + {u^2\over 2} + u^2 \varepsilon (u)
      \qquad {\rm avec} \qquad 
   \lim _{u\to 0} \varepsilon (u) = 0
$$
d'où
$$
   e^{-x} = 1 -x  + {x^2\over 2} + x^2 \varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \qquad 
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0
$$
et
$$
   (x^2+3x+1)e^{-x} = (x^2+3x+1) \left( 1 -x  + {x^2\over 2}\right) + x^2 \varepsilon (x) 
      \qquad {\rm avec} \qquad 
  \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0
$$
soit
$$\dresultat {
   f (x) = 1 + 2x - {3\over 2} x^2 + x^2 \varepsilon (x) 
      \qquad {\rm avec} \qquad 
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0
}$$
On s'aperçoit alors que la différence entre la courbe et la tangente
est 
$$
   f(x) - (2x + 1) = - {3\over 2} x^2 + x^2 \varepsilon (x) 
      \qquad {\rm avec} \qquad 
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0
$$
qui est toujours négatif pour $x$ au voisinage de $0$. Donc la courbe
de $f$ est \tresultat {en dessous de $T$ au voisinage de $0$}.

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}

\itemalph
$$
   \superboxepsillustrate {equ1_026.ps}
$$

\itemalphnum On veut calculer 
$$
   \int (2x+3) e^{-x} \, dx
      \qquad \hbox {de la forme} \qquad
   \int U V' \, dx
      \quad {\rm avec} \quad
   \cases {
      U = 2x+3
   \cr
      V' = e^{-x}
   \cr}
      \quad {\rm d'où} \quad
   \cases {
      U' = 2
   \cr
      V = -e^{-x}
   \cr}
$$
Il vient donc
$$
   \int h (x) \, dx 
   = \Big[-(2x+3) e^{-x} \Big] - \int -2e^{-x}\, dx
   = \Big[-(2x+3) e^{-x} \Big] - \Big[2e^{-x} \Big]
   = \Big[-(2x+3) e^{-x} - 2e^{-x} \Big]
$$
d'où une primitive de $h$~: \dresultat {H (x) = -(2x+5) e^{-x}}

\itemalph En intégrant la relation
$$
   f' (x) + f (x) = (2x+3) e^{-x}
$$
il vient
$$
   \int f' (x) + f (x) \, dx  = \int (2x+3) e^{-x} \, dx 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   f (x) + \int f (x) \, dx = - (2x+5) e^{-x}
$$
Une primitive de $f$ est donc
$$
   F (x) = \int f (x) \, dx = - (2x+5) e^{-x} - f (x)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {F (x) = - (x^2+5x+6) e^{-x}}
$$

\itemalph On aura donc
$$
   I (\alpha ) = \int _0^\alpha f (x) \, dx
      = F (\alpha ) - F (0)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {I (\alpha ) = - (\alpha ^2+5\alpha +6) e^{-\alpha } + 6}
$$
et en reprenant les calculs du {\bf B-1.}{\sl a\/}), on trouve
\dresultat {\lim _{\alpha \to +\infty } I (\alpha ) =
6}. Graphiquement, cela signifie que le domaine plan infini limité par
la courbe de $f$ et les axes $Ox$ et $Oy$ a une aire finie égale à
6~unités d'aire.

\fincorrige