\exo {Désintégration du Thorium 227} Le but du problème est l'étude de la désintégration d'un corps radioactif, le Thorium$^{227}$ qui donne du Radium$^{223}$, lequel se désintègre à son tour en donnant du Radon$^{219}$. \` A l'instant $t=0$, on isole $N_0$ atomes de Thorium. On note $R (t)$ le nombre d'atomes de Radium à l'instant $t$ pour $t\in [0, +\infty [$. \` A l'instant $t=0$, il n'y a aucun atome de Radium. On admet que la fonction $R (t)$ est la solution sur $[0, +\infty [$ de l'équation différentielle $$ y' + 0, 062 y = 0, 038 N_0 \cdot e^{-0, 038t} \leqno (E) $$ qui vérifie la condition initiale $R (0) = 0$. \itemitemalphnum Montrer que la fonction $y_1$ définie sur $[0, +\infty [$ par $$ y_1 (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t} $$ est une solution de $(E)$. \itemitemalph Déterminer dans $[0, +\infty [$ la solution générale $y_0$ de l'équation sans second membre $(E_0)$ associée à l'équation $(E)$. \itemitemalph En déduire la solution générale $y$ de $(E)$ \itemitemalph Déterminer alors la fonction $R$. \itemnum On considère la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty [$ par $$ f (t) = e^{-0, 038t} - e^{-0, 062t}. $$ \itemitemalph Déterminer la limite de $f$ en $+\infty $ . \itemitemalph Montrer que $$ f' (t) = e^{-0, 038t} \big( -0, 038 + 0, 062e^{-0, 024t}\big) . $$ \itemitemalph On note $t_0$ la solution de l'équation $f' (t) = 0$. Donner la valeur exacte de $t_0$ puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près. Justifier alors le signe de $f' (t)$ suivant les valeurs de $t$. \itemitemalph Donner le tableau de variation de $f$. \itemnum Donner l'expression de $R (t)$ en fonction de $f (t)$. En déduire le tableau de variation de $R$. \finexo \corrige {} \itemalphnum On a donc $$ y_1 (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t} \qquad {\rm et} \qquad y'_1 (t) = -0, 038 \times \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {y'_1 = -0, 038 \, y_1} $$ d'où $$ \eqalign { y'_1 + 0, 062 y_1 &= (-0, 038 + 0, 062) y_1 = 0, 024 y_1 \cr &= 0, 024 \times \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t} = 0, 038 N_0 \cdot e^{-0, 038t} \cr } $$ ce qui prouve que \tresultat {$y_1$ est une solution de $(E)$}. \itemalph L'équation sans second membre associée est $$ y' + 0, 062 y = 0 \leqno (E_0) $$ dont le cours nous dit que la solution générale est $$\dresultat { y_0 (t) = k e^{-0, 062t} \qquad \hbox {avec $k$ constante réelle quelconque} }$$ \itemalph La solution générale de $(E)$ est alors l'ensemble de fonctions défini par $y = y_0 + y_1$, soit $$\dresultat { y (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t} + k e^{-0, 062t} \qquad \hbox {avec $k$ constante réelle quelconque} }$$ \itemalph Sachant que la fonction $R$ est solution de $(E)$, et sachant qu'elle vérifie la condition initiale $R (0) = 0$, on obtient la relation $$ R (0) = \left( {19\over 12}\right) N_0 + k = 0 \qquad {\rm d'où} \qquad k = - \left( {19\over 12}\right) N_0 \qquad {\rm et} \qquad \dresultat { R (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0 \big( e^{-0, 038t} - e^{-0, 062t}\big) } $$ \itemalphnum On a $$ \dresultat {\lim _{t\to +\infty } f (t) = 0} \qquad {\rm puisque} \qquad f (t) = e^{-0, 038t} - e^{-0, 062t} \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to +\infty } e^{-t} = 0 $$ \itemalph Il vient $$ f' (t) = -0, 038 e^{-0, 038t} + 0, 062 e^{-0, 062t} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat { f' (t) = e^{-0, 038t} \big( -0, 038 + 0, 062e^{-0, 024t}\big) } $$ puisque $e^{a+b} = e^a \times e^b$ (et $0, 024 + 0, 038 = 0, 062$) \itemalph \alph \ L'expression de $f' (t)$ est factorisée en produit de deux facteurs. Le premier ne pouvant être nul (l'exponentielle n'est jamais nulle), il vient $$\eqalign { f' (t) = 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad -0, 038 + 0, 062e^{-0, 024t} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{-0, 024t} = {0, 038\over 0, 062} \cr &\Longleftrightarrow \quad -0, 024t = \ln \left( {0, 038\over 0, 062}\right) = \ln \left( {19\over 31}\right) \quad {\rm d'où} \quad \dresultat {t_0 = {-1\over 0, 024} \ln \left( {19\over 31}\right) \approx 20, 4} \cr }$$ \` A la calculatrice, on trouve que $f' (10)$ est positif, alors que $f' (30)$ est négatif. D'où le tableau récapitulatif~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr t&& 0&& t_0&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt } f' (t)&& &+& 0& - \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (t)$}&& \down {$0$}& \brightuuparrow & \buup {$\approx 0, 178$}& \brightddownarrow & \down{$0$} \cr }} }$$ \itemnum On a vu que l'on avait $$ R (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0 \big( e^{-0, 038t} - e^{-0,062t}\big) = \left( {19\over 12}\right) N_0 f (t) $$ La fonction $R$ étant le produit de la fonction $f$ par une constante réelle positive, on en déduit immédiatement le tableau de $R$~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr t&& 0&& t_0&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$R (t)$}&& \down {$0$}& \brightuuparrow & \buup {$\approx 0, 28 N_0$}& \brightddownarrow & \down{$0$} \cr }} }$$ On en conclut que lors de la désintégration du Thorium$^{227}$, on a un pic de Radium$^{223}$ au temps $t_0\approx 20, 4$ après le début de l'observation. Ce pic est constitué d'un nombre sensiblement égal à $28\% $ du nombre d'atomes de Thorium initiaux. \fincorrige