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Source de equ1_027.tex

Fichier TeX
\exo {Désintégration du Thorium 227}

Le but du problème est l'étude de la désintégration d'un corps
radioactif, le Thorium$^{227}$ qui donne du Radium$^{223}$, lequel se
désintègre à son tour en donnant du Radon$^{219}$.

\` A l'instant $t=0$, on isole $N_0$ atomes de Thorium. On note $R
(t)$ le nombre d'atomes de Radium à l'instant $t$ pour $t\in [0,
+\infty [$. \` A l'instant $t=0$, il n'y a aucun atome de Radium. On
admet que la fonction $R (t)$ est la solution sur $[0, +\infty [$ de
l'équation différentielle
$$
   y' + 0, 062 y = 0, 038 N_0 \cdot e^{-0, 038t}
\leqno
   (E)
$$
qui vérifie la condition initiale $R (0) = 0$.

\itemitemalphnum Montrer que la fonction $y_1$ définie sur $[0,
+\infty [$ par
$$
   y_1 (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t}
$$
est une solution de $(E)$.

\itemitemalph Déterminer dans $[0, +\infty [$ la solution générale
$y_0$ de l'équation sans second membre $(E_0)$ associée à l'équation
$(E)$. 

\itemitemalph En déduire la solution générale $y$ de $(E)$

\itemitemalph Déterminer alors la fonction $R$.

\itemnum On considère la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty [$ par
$$
   f (t) = e^{-0, 038t} - e^{-0, 062t}.
$$

\itemitemalph Déterminer la limite de $f$ en $+\infty $ .

\itemitemalph Montrer que
$$
   f' (t) = e^{-0, 038t} \big( -0, 038 + 0, 062e^{-0, 024t}\big) .
$$

\itemitemalph On note $t_0$ la solution de l'équation $f' (t) =
0$. Donner la valeur exacte de $t_0$ puis une valeur approchée à
$10^{-1}$ près. Justifier alors le signe de $f' (t)$ suivant les valeurs
de $t$.

\itemitemalph Donner le tableau de variation de $f$.

\itemnum Donner l'expression de $R (t)$ en fonction de $f (t)$. En
déduire le tableau de variation de $R$.

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum On a donc
$$
   y_1 (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t}
      \qquad {\rm et} \qquad
   y'_1 (t) = -0, 038 \times \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {y'_1 = -0, 038 \, y_1}
$$
d'où
$$
\eqalign {
   y'_1 + 0, 062 y_1 &= (-0, 038 + 0, 062) y_1 = 0, 024 y_1 
\cr
      &= 0, 024 \times \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0,
      038t} = 0, 038 N_0 \cdot e^{-0, 038t}
\cr }
$$
ce qui prouve que \tresultat {$y_1$ est une solution de $(E)$}.

\itemalph L'équation sans second membre associée est 
$$
   y' + 0, 062 y = 0
\leqno
   (E_0)
$$
dont le cours nous dit que la solution générale est
$$\dresultat {
   y_0 (t) = k e^{-0, 062t}
      \qquad \hbox {avec $k$ constante réelle quelconque}
}$$

\itemalph La solution générale de $(E)$ est alors l'ensemble de
fonctions défini par $y = y_0 + y_1$, soit

$$\dresultat {
   y (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0 \cdot e^{-0, 038t} + k e^{-0, 062t}
      \qquad \hbox {avec $k$ constante réelle quelconque}
}$$

\itemalph Sachant que la fonction $R$ est solution de $(E)$, et
sachant qu'elle vérifie la condition initiale $R (0) = 0$, on obtient
la relation
$$
   R (0) = \left( {19\over 12}\right) N_0 + k = 0
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   k = - \left( {19\over 12}\right) N_0 
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {
   R (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0  \big( e^{-0, 038t} - e^{-0, 062t}\big)
   }
$$

\itemalphnum On a 
$$
   \dresultat {\lim _{t\to +\infty } f (t) = 0}
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   f (t) = e^{-0, 038t} - e^{-0, 062t}
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{t\to +\infty } e^{-t} = 0
$$

\itemalph Il vient 
$$
   f' (t) = -0, 038 e^{-0, 038t} + 0, 062 e^{-0, 062t}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {
   f' (t) = e^{-0, 038t} \big( -0, 038 + 0, 062e^{-0, 024t}\big) 
   }
$$
puisque $e^{a+b} = e^a \times e^b$ (et $0, 024 + 0, 038 = 0, 062$)

\itemalph \alph \ L'expression de $f' (t)$ est factorisée en produit de deux
facteurs. Le premier ne pouvant être nul (l'exponentielle n'est jamais
nulle), il vient
$$\eqalign {
   f' (t) = 0
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   -0, 038 + 0, 062e^{-0, 024t} = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
    e^{-0, 024t} = {0, 038\over 0, 062}
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
    -0, 024t = \ln \left( {0, 038\over 0, 062}\right) = \ln \left( {19\over 31}\right)
      \quad {\rm d'où} \quad
   \dresultat {t_0 = {-1\over 0, 024} \ln \left( {19\over 31}\right)
\approx 20, 4}
\cr
}$$
\` A la calculatrice, on trouve que $f' (10)$ est positif, alors que
$f' (30)$ est négatif. D'où le tableau récapitulatif~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      t&& 0&& t_0&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (t)&& &+& 0& -
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (t)$}&& \down {$0$}&
      \brightuuparrow & \buup {$\approx 0, 178$}&
      \brightddownarrow & \down{$0$}
   \cr
}}
}$$

\itemnum On a vu que l'on avait 
$$
   R (t) = \left( {19\over 12}\right) N_0  \big( e^{-0, 038t} - e^{-0,062t}\big)
      = \left( {19\over 12}\right) N_0 f (t)
$$
La fonction $R$ étant le produit de la fonction $f$ par une constante
réelle positive, on en déduit immédiatement le tableau de $R$~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      t&& 0&& t_0&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$R (t)$}&& \down {$0$}&
      \brightuuparrow & \buup {$\approx 0, 28 N_0$}&
      \brightddownarrow & \down{$0$}
   \cr
}}
}$$
On en conclut que lors de la désintégration du Thorium$^{227}$, on a
   un pic de Radium$^{223}$ au temps $t_0\approx 20, 4$ après le début
   de l'observation. Ce pic est constitué d'un nombre sensiblement
   égal à $28\% $ du nombre d'atomes de Thorium initiaux.

\fincorrige