\exo {\' Equation différentielle et étude de fonction, {\rm bts mai}, {\sl juin 2001}} {\bf Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \let \partie \centerpartie \partie {A -- {\sl Résolution d'une équation différentielle}} On considère l'équation différentielle $$ y' - 2y = e^{2x} \leqno (E) $$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\rset $ et $y'$ sa fonction dérivée. \itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle~: $$ y' - 2y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemnum Soit $h$ la fonction définie sur $\rset $ par $h (x) = x e^{2x}$. \item {} Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \itemnum Déterminer la solution générale de l'équation $(E)$. \itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition $f (0) = -1$. \partie {B -- {\sl \' Etude d'une fonction}} Soit $f$ la fonction définie sur $\rset $ par $f (x) = (x-1) e^{2x}$. Sa courbe représentative $C$ est donnée dans le repère de l'annexe (à rendre avec la copie). \itemitemalphnum Calculer $\displaystyle { \lim _{x\to +\infty } f (x). }$ \itemitemalph On admet que $\displaystyle { \lim _{x\to -\infty } xe^{2x} = 0 }$. En déduire $\displaystyle { \lim _{x\to -\infty } f (x). }$ \itemitemalph Interpréter géométriquement le résultat obtenu au {\sl b\/}). \itemitemalphnum Démontrer que, pour tout $x$ de $\rset $, $f' (x) = (2x-1) e^{2x}$. \itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $f' (x) \geq 0$. \itemitemalph En déduire le sens de variation de $f$ sur $\rset $. \itemitemalphnum \` A l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle $t\mapsto e^t$, donner le développement limité, à l'ordre~$3$, au voisinage de $0$ de la fonction $x\mapsto e^{2x}$. \itemitemalph En déduire que le développement limité, à l'ordre~$3$, au voisinage de $0$ de la fonction $f$ est~: $$ f (x) = -1 - x + {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0. $$ \itemitemalph En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $C$ et $T$ au voisinage de ce point. \itemitemalph Tracer $T$ dans le repère de l'annexe. \partie {C -- {\sl Calcul intégral}} \itemnum Soit $\alpha $ un réel strictement négatif~; on pose $\displaystyle { I (\alpha ) = \int _\alpha ^0 f (x) \, dx }$. \item {} Démontrer que $$ I (\alpha ) = - {3\over 4} - \left( {1\over 2}\alpha - {3\over 4}\right) e^{2\alpha }. $$ On pourra effectuer une intégration par parties. \itemitemalphnum Calculer la limite de $I (\alpha )$ quand $\alpha $ tend vers $-\infty $. \itemitemalph \` A l'aide d'une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat. \vfill \eject \let \partie \simplecenterpartie \leftline {\fourteenbf NOM :} \partie {\fourteenbf Annexe} \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \epsfxsize 140mm $$ \superboxepsillustrate {equ1_028a.ps} $$ \finexo \corrige {} \let \partie \llappartie \everymath = {\displaystyle } \partie {A} \vskip -6.5mm \itemnum Le cours nous donne immédiatement la solution générale de $(E_0)$~: \dresultat {y = k e^{2x}, \quad k \in \rset }. \itemnum Si $h = xe^{2x}$, alors $h' = (1+2x) e^{2x}$ et $h'-2h = e^{2x}$, ce qui prouve que \tresultat {$h$ est une solution particulière de $(E)$}. \itemnum On déduit alors des questions précédentes que la solution générale de $(E)$ est \dresultat {y = (x+k) e^{2x}, \quad k \in \rset }. \itemnum La fonction $f$ étant une solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f (0) = -1$, on obtient immédiatement $f (0) = k = -1$, autrement dit \dresultat {f (x) = (x-1) e^{2x}}. \partie {B} \vskip -5.5mm \itemalphnum On a \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty } puisque $f (x) = (x-1) e^{2x}$ avec $\lim _{x\to +\infty } (x-1)= +\infty = \lim _{x\to +\infty } e^{2x}$. \itemalph et on a \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = 0} puisque $f (x) = xe^{2x} - e^{2x}$ avec $\lim _{x\to -\infty } xe^{2x} = 0 = \lim _{x\to -\infty } e^{2x}$. \itemalph On en déduit une \tresultat {asymptote horizontale d'équation $y = 0$}. \itemalphnum \alph \ Il vient $$ f' (x) = \big( 2 (x-1) + 1\big) e^{2x} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {f' (x) = (2x-1)e^{2x}} $$ qui est du signe de $2x-1$ puisque $e^{2x}$ est toujours strictement positif. D'où \dresultat {f' (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1/2}. \itemalph On a finalement le tableau de variation suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -\infty && 1/2&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt } f' (x)&& &-& 0& + \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& \buup {$0$}& \brightddownarrow & \down{$- {1\over 2}e$}& \brightuuparrow & \buup {$+\infty $} \cr }} }$$ \itemalphnum On sait que $$ e^t = 1 + t + {t^2\over 2} + {t^3\over 6} + t^3 \varepsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0. $$ donc $$\dresultat { e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + {4\over 3}x^3 + x^3 \varepsilon (x) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0. }$$ \itemalph En multipliant ce dernier développement par le polynôme $x-1$, on obtient alors $$\eqalign { (x-1)e^{2x} &= (x-1) \left( 1 + 2x + 2x^2 + {4\over 3}x^3 \right) + x^3 \varepsilon (x) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0. \cr &= -1 + (1-2) x + (2-2) x^2 + \left( 2-{4\over 3}x^3 \right) + x^3 \varepsilon (x) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0. \cr \hbox {soit encore} \qquad & \qquad \dresultat { f (x) = -1 - x + {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0. } }$$ \itemalph Ce développement donne immédiatement, non seulement une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$~: \dresultat {T~: y = -1-x}, mais aussi la différence entre la courbe $C$ et la tangente $T$ au voisinage de $0$. Ainsi $$ f (x) - (-1-x) = {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0. $$ Au voisinage de $0$, cette différence est donc du signe de $2x^3/3$. Ce qui nous permet d'affirmer que, au voisinage de $x=0$, la courbe $C$ est \tresultat {en dessous de $T$ pour $x<0$, au dessus sinon}. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \itemalph $$ \superboxepsillustrate {equ1_028b.ps} $$ \partie {C} \vskip -5mm \itemnum $$ I (\alpha ) = \int _\alpha ^0 (x-1) e^{2x} \, dx \qquad \hbox {du type} \qquad \int U V' \qquad {\rm avec} \qquad \cases { U = x-1 \cr V' = e^{2x} \cr } \quad {\rm et} \quad \cases { U' = 1 \cr V = {1\over 2}e^{2x} \cr } $$ D'où $$\eqalign { I (\alpha ) &= \Big[ {1\over 2}(x-1) e^{2x}\Big] _\alpha ^0 - {1\over 2}\int _\alpha ^0 e^{2x} \, dx \cr &= -{1\over 2} - {1\over 2} (\alpha - 1)e^{2\alpha } - {1\over 2}\Big[ {1\over 2}e^{2x}\Big] _\alpha ^0 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {I (\alpha ) = - {3\over 4} - \left( {1\over 2}\alpha - {3\over 4}\right) e^{2\alpha }}. \cr }$$ \itemalphnum Et, de la même façon qu'au {\bf B-1.}{\sl b\/}), il vient \dresultat {\lim _{\alpha \to -\infty } I (\alpha) = {-3\over 4}} puisque $$ I (\alpha ) = - {3\over 4} - {1\over 2}\alpha e^{2\alpha } - {3\over 4}e^{2\alpha } \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{x\to -\infty} \alpha e^{2\alpha } = 0 = \lim _{x\to -\infty} e^{2\alpha } $$ \itemalph Graphiquement, ce dernier résultat signifie \tresultat {qu'une mesure de l'aire $\cal A$ est $3/4$ d'unités d'aire}, où $\cal A$ désigne l'aire du domaine plan infini délimité par la courbe $C$ et les axes $Ox$ et $Oy$. \fincorrige