\exo {Hauteurs de crues et probabilités, \sl bts mai, session 2004} {\sl Dans cet exercice, on étudie une fonction qui intervient dans des calculs de probabilité à propos de la crue d'un fleuve. (Source~: un bureau d'étude du domaine de l'équipement.)} \centerline {\bf Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \partie {\sl A - Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle $$ (E)~: y' + (0, 4x)y = 0, 4x $$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $[0; +\infty [$, et $y'$ sa fonction dérivée. \itemnum Déterminer les solutions de l'équation différentielle $$ (E_0)~: y' + (0, 4x)y = 0. $$ \itemnum Montrer que la fonction constante $h$, définie sur $[0; +\infty [$ par $h (x) = 1$, est une solution particulière de l'équation $(E)$. \itemnum En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. \itemnum Vérifier que la fonction $F$ définie sur $[0; +\infty [$ par $\displaystyle { F (x) = 1 - e^{-0, 2x^2} }$ est la solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $F (0) = 0$. \partie {\sl B - \' Etude d'une fonction} Soit $f$ la fonction définie sur $[0; +\infty [$ par \qquad $\displaystyle { f (x) = 0, 4 x e^{-0, 2x^2} }$. On désigne par $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$, les unités graphiques étant de $2$~cm sur l'axe des abscisses et de $10$~cm sur l'axe des ordonnées. \itemnum On admet que $\displaystyle { \lim _{x\to +\infty } f (x) = 0 }$. Que peut-on en déduire pour la courbe $C$~? \itemitemalphnum Démontrer que, pour tout $x$ de $[0; +\infty [$, $$ f' (x) = 0, 4 \left( 1 - \sqrt {0, 4}x\right) \left( 1 + \sqrt {0, 4} x \right) e^{-0, 2x^2}. $$ \itemitemalph En déduire le signe de $f' (x)$ sur $[0; +\infty [$. \itemitemalph Donner le tableau de variation de $f$ sur $[0; +\infty [$. \itemitem {} On y fera figurer la valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de la fonction $f$. \itemnum Un logiciel de calcul formel fournit pour $f$ le développement limité suivant, à l'ordre $3$, au voisinage de $0$~: $$ f (x) = 0, 4 x - 0, 08 x^3 + x^3 \varepsilon (x) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0. $$ {\bf Ce résultat est admis et n'est donc pas à démontrer.} \item {} En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$, et la position relative de $T$ et $C$ au voisinage de ce point. \itemnum Tracer sur la copie la tangente $T$ et la courbe $C$ dans le repère $(O, \vec \imath ,\vec \jmath )$ défini au début de la partie $B$. \partie {\sl C - Application à un problème de probabilité} {\sl Une étude statistique, fondée sur un historique des crues d'un fleuve, permet de faire des prévisions dur sa hauteur maximale annuelle, en mètres.} On note $X$ la variable aléatoire qui, à une année prise au hasard dans une longue période, associe la hauteur maximale du fleuve en mètres. Soit $x$ un réel positif. La probabilité qu'una année donnée la hauteur maximale du fleuve soit inférieure à $x$ mètres est $$ p (X \leq x) = \int _0^x f (t) \, {\rm d}t $$ où $f$ est la fonction définie dans la partie {\sl B}. On admet que~: \qquad $\displaystyle { \int _0^x f (t) \, {\rm d}t = 1 - e^{-0, 2x^2} }$. \itemnum Les digues actuelles ne protègent l'agglomération que lorsque la hauteur du fleuve est inférieure à $4$ mètres. \item {} Calculer la probabilité $p (X\leq 4)$ qu'une année donnée, l'agglomération soit protégée de la crue; arrondir le résultat à $10^{-2}$. \itemnum Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de l'agglomération, on cherche la hauteur $x_0$, en mètres, telle que $P (X\leq x_0) = 0, 99$. \itemitemalph Montrer que $x_0$ est solution de l'équation~: \qquad $e^{-0, 2 x_0^2} = 0, 01$. \itemitemalph Déterminer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $x_0$. \itemitemalph On considère l'affirmation suivante~: \og \sl En surélevant les digues d'un mètre, la probabilité qu'une année prise au hasard, l'agglomération soit protégée est supérieure à $0, 99$\fg . \itemitem {} Cette affirmation est-elle vraie~? (Donner la réponse sans explication.) \finexo \corrige \let \partie \llappartie \partie {A} \vskip -5mm \itemnum Il vient $$ y' + (0, 4x)y = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y' = -0, 4x y. $$ Ici, $a (x) = -0, 4x$, et une primitive est $A (x) = -0, 2x^2$. La solution générale de $E_0$ est donc \dresultat {y_0 (x) = ke^{-0, 2x^2}, k\in \rset }. \itemnum Si $h (x) = 1$, alors $h' (x) = 0$, et il est évident que $h' + 0, 4 xh = 0, 4x$, donc \tresultat {$h (x) = 1$ est solution particulière de $(E)$} \itemnum La solution générale de $(E)$ est donc \dresultat {1 + k e^{-0,2x}, k \in \rset }. \itemnum La fonction $F (x) = 1 - e^{-0,2x^2}$ est bien une \tresultat {solution de $(E)$} puisque de la forme donnée dans le {\bf 3.} avec $k = -1$. De plus il est facile de vérifier que l'on a bien \mresultat {F (0) = 0}. \partie {B} \vskip -5mm \itemalphnum La limite donnée prouve une \tresultat {asymptote horizontale d'équation $y=0$} pour la courbe $C$. \itemnum Il vient $f' (x) = 0, 4 e^{-0, 2x^2} - 0, 16x^2e^{-0, 2x^2} = 0, 4 (1-0, 04x^2) e^{-0,2x^2}$. Et comme $(1-x\sqrt {0,4})(1+x\sqrt {0,4}) = (1-0, 4x)$, on a bien l'expression proposée~: \dresultat {f' (x) = 0, 4 \left( 1 - \sqrt {0, 4}x\right) \left( 1 + \sqrt {0, 4} x \right) e^{-0, 2x^2}}, d'où le tableau de variation de $f$~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& 0&& 1/\sqrt {0,4}&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} 0,4x&& &+&\tv & +& \cr \noalign {\hrule } 1 + x\sqrt {0,4}&& &+&\tv & +& \cr \noalign {\hrule } 1 - x\sqrt {0,4}&& &+& 0& -& \cr \noalign {\hrule} e^{-0,2x^2}&& &+&\tv & +& \cr \noalign {\hrule height 1pt} f' (x)&& &+& 0& -& \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& \down {$0 $}& \brightuuparrow & \buup {$\approx 0,38$}& \brightddownarrow & \down{$0$} \cr }} }$$ \itemnum Pour l'équation de la tangente en $0$, il suffit de prendre le développement limité d'ordre $1$. D'où l'équation cherchée~: \dresultat {y = 0,4x}. \item {} Pour les positions relatives, il nous faut étudier le signe de la différence entre $f (x)$ et la tangente. Comme, au voisinage de $0$, cette différence est égale à $-0, 08x^3$, on a facilement le tableau récapitulatif suivant~: $$\dresultat { \vcenter{\offinterlineskip \halign{ % preamble & \cc {$#$}& #& $#$ & \cc {$#$}& \cc {$#$}& \cc {$#$}& \cc {$#$}& $#$ \cr x& \tv & \, && 0 && \cr \noalign{\hrule} -0,08x^3 & \tv && + & 0 & - & \cr \noalign{\hrule} f (x) - T& \tv && + & 0 & - & \cr \noalign{\hrule} \tvi height 15pt depth 10pt \hbox {positions relatives}& \tv && \matrix{C_f {\rm \ au}\cr {\rm dessus\ de\ } T }& \tv & \matrix{C_f {\rm \ au}\cr {\rm dessous\ de\ } T } \cr }} }$$ \def \epspath { $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \itemnum $$ \superboxepsillustrate {equ1_032.ps} $$ \partie {D} \vskip -7mm \itemnum Il vient \dresultat {p (X\leq 4) = 1 - e^{-0,2\times 4^2} \approx 0, 96} \itemalphnum On a $$ p (X\leq x_0) = 0, 99 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 - e^{-0,2\times x_0^2} = 0,99 \quad \Longleftrightarrow \quad \dresultat {e^{-0,2\times x_0^2} = 1 - 0,99 = 0, 01} $$ \itemalph D'où $-0, 2 x_0^2 = \ln (0, 01)$, soit \dresultat {x_0 = \sqrt {-{\ln 0, 01\over 0,2}} \approx 4, 80} \itemalph L'affirmation proposée est \tresultat {vraie}, puisque en surélevant la digue d'un mètre, l'agglomération sera protégée jusqu'à $5$ mètres de crue, valeur supérieure au $x_0$ précédemment calculé. \fincorrige