\exo {Décharge d'un condensateur, {\sl bts mai, session 1992}} (Les unités de mesure utilisées sont les unités du système SI.) Un condensateur de capacité $C$ est chargé sous une tension initiale de $20$~volts. Il se décharge ensuite dans un résistor de résistance $R$; on note $a = RC$. La tension aux bornes du condensateur est une fonction $V$ du temps $t$ définie sur $[0; +\infty [$. $V$ est solution de l'équation différentielle $(E)$~: $$ {\cal V}' + {1\over a} {\cal V} (t) = 0. $$ \itemitemalphnum Déterminer toutes les fonctions solutions de l'équation différentielle $(E)$. \itemitemalph On rappelle que pour $t = 0$, on a $V (0) = 20$. Déterminer l'expression de $V$. \itemnum Dans cette question, on suppose que $R = 1\, 000$ et $C = 10^{-4}$. \itemitemalph Montrer que l'on a alors $V (t) = 10 e^{- 10t}$. \itemitemalph \' Etudier les variations de la fonction $V$. \itemitemalph Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles on a $V (t) \geq 0, 02$. \itemitemalph L'intensité traversant le circuit est une fonction $I$ du temps; on a $I (t) = CV' (t)$. Déterminer $I (t)$. \itemitemalph Calculer l'énergie $W$ dissipée dans le résistor entre les instants $t = 0$ et $t = 0, 69$ sachant que $$ W = \int _0^{0, 69} R I^2 (t) \, {\rm d}t. $$ \itemnum Dans cette question, la tension aux bornes du condensateur étant définie par $$ V (t) = 20 e^{-t/a}, $$ on note $C_a$ la courbe représwentative de $V$ dans un repère orthogonal avec les unités traphiques suivantes~: \itemitem {} $5\cm $ sur l'axe des abscisses pour représenter $0, 1$~seconde; \itemitem {} $0, 5\cm $ sur l'axe des ordonnées pour représenter $1$~volt. \itemitemalph Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $C_a$ au point d'abscisse~$0$. \itemitem {} Soit $M$ le point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses. Déterminer l'abscisse de $M$. \itemitemalph Pour un certain dipole on a tracé la courbe représentative $C_a$ ainsi que sa tangente au point d'abscisse~$0$ sur le graphique suivant~: \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} $$ \epsillustrate {equ1_033.ps} $$ Déduire de ce graphique la valeur correspondante de $a$. \finexo