\exo{Amortissement} L'étude d'un phénomène d'amortissement conduit à la résolution de l'équation différentielle $$ y'' + 2y' + 2y = 0 \leqno (E) $$ où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur $\rset$. \itemnum {\sl Résolution de l'équation différentielle $(E)$} \itemitemalph Résoudre $(E)$. \itemitemalph Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ satisfaisant aux conditions initiales~: $$ g (0) = 0 \qquad {\rm et} \qquad g' (0) = 1. $$ \itemnum {\sl \'Etude d'une solution de $(E)$ sur $[0, \pi]$} \item{} Soit $f$ la fonction définie sur $[0, \pi]$ par $$ f (x) = e^{-x} \sin x. $$ \itemitemalph \'Etablir que~: \quad $\displaystyle \cos x - \sin x = \sqrt2 \sin \Big( {\pi \over4} - x \Big) $. \itemitem{} En déduire le signe de $(\cos x - \sin x)$ sur $[0, \pi]$. \itemitemalph Calculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire les variations de $f$ sur $[0, \pi]$. \itemitemalph Construire $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (unités~: 5~cm en abscisse, 10~cm en ordonnée). \finexo