\exo{Une suspension de voiture} \let \partie \centerpartie \partie{A} La suspension d'une voiture est schématisée par un ressort vertical de force de rappel $k = 1, 36 \times 10^4$~Nm$^{-1}$. La masse $m$ de la voiture est de $800$~kg. On démontre en mécanique que l'équation du mouvement vertical de cette voiture est de la forme~: $$ y'' + {b \over m} y' + {k \over m} y = 0 $$ où $y$ désigne l'amplitude de l'oscillation en fonction du temps $t$, $b$ étant une constante qui peut être choisie égale à~$1\, 600$. \itemnum Résoudre cette équation différentielle. \itemnum Déterminer la solution particulière telle qu'à l'instant $t =0$, les conditions suivantes soient vérifiées~: $$ \cases{ y (0) = 1 \cr y' (0) = -1. \cr} $$ \partie{B} On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $t$, définie sur $[0, \pi]$ par~: \quad $f (t) = e^{-t} \cos 4t$ . \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \epsfxsize = 80mm La courbe $\Gamma$ de $f$ est donnée sur la figure ci-dessous $$ \superboxepsillustrate{equ2_006.ps} $$ On appelle $C_1$ et $C_2$ les courbes représentatives des fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur $[0, \pi]$ par~: $$ f_1 (t) = -e^{-t} \qquad {\rm et} \qquad f_2 (t) = e^{-t}. $$ \itemitemalphnum Montrer que, pour tout réel $t$ de $[0, \pi]$, on a~: $$ -e^{-t} \leq f (t) \leq e^{-t}. $$ \itemitemalph En déduire les positions relatives de $\Gamma$, $C_1$ et $C_2$. \itemitemalphnum Calculer les {\sl abscisses\/} des points $A$ et $B$ communs à $\Gamma$ et $C_1$. \itemitemalph Calculer les {\sl abscisses\/} des points $C$, $D$ et $E$ communs à $\Gamma$ et $C_2$. \itemitemalph Calculer le coefficient directeur de la tangente à $\Gamma$ en son point d'abscisse~$0$, ainsi que celui de la tangente à $C_2$'en son point d'abscisse~$0$. Que peut-on en conclure~? \itemitemalphnum \'Etudier sur $[0, \pi]$ les variations des fonctions $f_1$ et $f_2$. \itemitemalph Tracer sur un même graphique~: \itemitem{} $\bullet$ la courbe représentative de la fonction $f$, \itemitem{} $\bullet$ les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, ainsi que la tangente à $\Gamma$ en son point d'abscisse~$0$, \itemitem{} $\bullet$ les courbes $C_1$ et $C_2$. \finexo