\exo{Estampage} \let \partie \doublecenterpartie \bigskip {\narrower \narrower \sl Dans une large mesure, les parties {\bf A.}, {\bf B.} et {\bf C.} peuvent être traitées de façon indépendante. \par } \bigskip On veut fabriquer, par estampage, une pièce métallique. Le patron de cette pièce est limité par un domaine plan obtenu à partir de la représentation graphique d'une fonction numérique solution d'une équation différentielle. \partie{A.}{Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle $$ y'' + 2 y' + y = 1 \leqno (E) $$ où $y$ désigne une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur $[0, +\infty[$. \itemnum Démontrer que la fonction $g$ définie sur $[0, +\infty[$ par $g (x) = 1$ est une solution de $(E)$. \itemnum Résoudre l'équation différentielle $$ y'' + 2 y' + y = 0 \leqno (E_0) $$ \itemnum Déduire des questions précédentes la résolution de l'équation $(E)$. \itemnum Déterminer la solution particulière de l'équation $(E)$ qui vérifie $$ f (0) = 1 \qquad {\rm et} \qquad f' (0) = 3. $$ \partie{B.}{\'Etude d'une fonction numérique} Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par $$ f (x) = 3x e^{-x} + 1. $$ On note $C_f$la courbe représqentative de la fonction $f$ dans le plazn muni d'un repère orthogonal $(O, \vec \imath, \vec \jmath)$ (unité graphique~: 4~cm). \itemnum Déterminer la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat. \itemitemalphnum Déterminer la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$. \itemitemalph \'Etudier le signe de $f'$. En déduire le tableau de variation de $f$. \itemnum Soit $A$, le point de $C_f$ d'abscisse~$0$. Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$ en $A$. \itemnum Tracer la droite $T$ et la partie de la courbe correspondant à l'intervalle $[0, 4]$. \partie{C.}{Détermination de l'aire du domaine plan utile à la fabrication de la pièce} \itemnum On pose $$ I = \int_0^4 3x e^{-x} \, dx . $$ Montrer, en utilisant une intégration par parties, que $I = -15 e^{-4} + 3$. \itemitemalphnum Calculer $$ J = \int_0^4 f (x) \, dx. $$ \itemitemalph En déduire une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut de l'aire $\cal A$, exprimée en~cm$^2$, du domaine plan limité par les axes de coordonnées, la courbe $C_f$ et la droite d'équation $x = 4$. \finexo