\exo{Le second membre est un polynôme} On considère l'équation différentielle~: $$ y'' - 2y' + 3y = 3x^2 - 1. \leqno (E) $$ \itemnum Résoudre l'équation sans second membre $$ y'' - 2y' + 3y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemnum Chercher une solution particulière de $(E)$ sous la forme $$ y = ax^2 + bx + c. $$ \itemnum En déduire la solution générale de $(E)$. \itemnum Déterminer, parmi toutes les solutions de $(E)$, la fonction $f$ dont la courbe $({\cal C})$ est tangente à l'axe $Ox$ en l'origine~$O$. \finexo \corrige{} \itemnum L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est $$ r^2 - 2 r + 3 = 0. $$ Le discriminant $\Delta = -8 = (2i\sqrt2)^2$ étant négatif, la résolution dans $\cset$ de cette dernière équation donne les deux racines complexes conjuguées $r = 1 \pm i \sqrt2$. On en déduit, d'après le cours, que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_0)$ est constitué de toutes les fonctions $y$ pouvant s'écrire sous la forme $$ \dresultat{y (x) = e^x (A \cos (\sqrt2 x) + B \sin (\sqrt2 x)),} $$ où $A$ et $B$ sont des réels quelconques. \itemnum Si $y (x) = ax^2 + bx + c$ avec $a$, $b$ et $c$ réels, alors $y' (x) = 2ax + b$ et $y'' (x) = 2a$. On en déduit qu'alors, si $y$ est une solution de $(E)$, $$\eqalign{ y'' - 2y' + 3y &= 3a x^2 + (3b - 4a) x + (3c - 2b + 2a) \cr &= 3x^2 - 1 }$$ Par identification des coefficients, il vient alors $$ \cases{ a = 1 \cr 3b - 4a = 0 \cr 3c - 2b + 2a = -1 \cr} \qquad {\rm d'où} \qquad (a, b, c) = \Big( 1, {4\over3}, -{1\over9} \Big) $$ La solution particulière de $(E)$ cherchée est donc \dresultat{y = x^2 + {4\over3} x -{1\over9}}. \itemnum Pour avoir la solution générale de $(E)$, il suffit d'additionner une solution particulière de $(E)$ à la solution générale de $(E_0)$, ce qui donne toutes les fonctions s'écrivant $$ \dresultat{y (x) = x^2 + {4\over3} x -{1\over9} + e^x (A \cos (\sqrt2 x) + B \sin (\sqrt2 x))} $$ avec $A$ et $B$ réels quelconques. \itemnum Si $f$ est une solution de $(E)$, alors elle peut s'écrire sous la forme ci-dessus pour une certaine valeur des réels $A$ et $B$. Si de plus sa courbe $\cal C$ passe par l'origine $O (0, 0)$, alors $f (0) = 0$. Et si $\cal C$ est tangente à l'axe $Ox$ en $O$, alors $f' (0) = 0$. \item{} De $f (0) = 0$, on en déduit $A = 1/9$, et de $f' (0) = 0$, on déduit que $B = -13 / 9\sqrt2$ puisque $$ f' (x) = 2x + {4 \over 3} + e^x ((A + B\sqrt2) \cos \sqrt2 x + (B - A\sqrt2) \sin \sqrt2 x) $$ La fonction $f$ cherchée est donc définie par $$ \dresultat{f (x) = x^2 + {4\over3} x -{1\over9} + e^x\left( {1\over9} \cos (\sqrt2 x) - {13 \over 9\sqrt2} \sin (\sqrt2 x) \right)} $$ \fincorrige