\exo{\'Etude d'un système de sécurité, {\sl bts mai}, {\sl 1995}} \catcode`\|=12 \input $HOME/tex_doc/format/pstricks/pstricks.tex {\sl Principe du fonctionnement (voir schémas ci-dessous).} \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} $$ \superboxit {0pt} { %% xsize: 93.13 mm, 265 pt %% ysize: 102.89 mm, 292.77 pt \psset{unit=1pt} \pspicture(-63.05,-90.83)(201.94,201.94) \psset{xunit=27.77,yunit=27.77} \rput(2.5,2){\epsfbox{\epspath equ2_012a.ps}} \cput(1,4){$2$} \cput(2,4){$5$} \cput(3,4){$3$} \cput(4,4){$1$} \cput(5,4){$4$} \rput(2.5,-2.5){Schéma A} \psline(.8,3.8)(0,2) \psline(2,3.75)(1,.7) \psline(3,3.75)(1.8,1) \psline(4,3.75)(3.5,0.2) \psline(4.8,3.8)(4.15,1.2) \endpspicture } $$ Une tige horizontale $(1)$ de longueur $\ell $ est solidarisée perpendiculairement à un arbre $(2)$ d'une machine tournant à une vitesse angulaire constante $\omega $. Un ressort $(5)$ de constante de raideur $k$ est fixé par l'une de ses extrémités à l'arbre et par l'autre à un solide $(3)$ de masse $M$, qui peut coulisser sans frottement sur la tige. Si le solide arrive en butée, il actionne un capteur $(4)$ qui déclenche l'arrêt de la machine (voir schéma~A). {\sl Le but de l'exercice est de déterminer le mouvement du point $P$ (voir schéma B).} $$ \superboxit {0pt} { %% xsize: 93.13 mm, 265 pt %% ysize: 98.99 mm, 281.66 pt \psset{unit=1pt} \pspicture(-57.5,-107.5)(207.5,174.16) \psset{xunit=33.33,yunit=33.33} \rput(2.25,1){\epsfbox{\epspath equ2_012b.ps}} \rput(.8,2.2){$\ell _0$} \rput(1.5,3.2){$x (t)$} \rput(2.3,4.2){$\ell $} \rput(2.5,-2.8){Schéma B} \psdot(0,0) \endpspicture } $$ Pour cela, on munit la droite $(OA)$ d'un repère $(O, \vec \imath \, )$ où $\overrightarrow {OA} = \ell \vec \imath $ (unité~: le mètre). L'unité de temps étant la seconde, la position du point $P$ à l'instant $t$ est alors repérée par son abscisse $x (t)$ dans le repère précédent et l'on a, à tout instant $t$~: $$ \ell_0 \leq x \leq \ell \leqno (1) $$ %\vss \vskip -10mm $$ x'' (t) + \left( {k \over M} - \omega ^2 \right) x (t) = {k \over M} \ell _0 \qquad \hbox {qui s'écrit~: } \qquad x'' + \left( {k \over M} - \omega ^2 \right) x = {k \over M} \ell _0 \leqno (2) $$ Les contraintes techniques fixent pour tout le problème~ $$ M = 0, 062\, 5 \kg \qquad k = 169 \N . {\rm m} ^{-1} \qquad \ell _0 = 0, 072 {\rm m} \qquad \ell = 0, 12 {\rm m} $$ D'autre part, pour simplifier l'étude, les conditions initiales sont fixées à $t = 0$~: $x (0) = \ell _0$ et $x' (0) = 0$. {\sl Question préliminaire~:} Vérifier que l'équation différentielle $(2)$ s'écrit~: $$ x'' + (2\, 704 - \omega ^2) x = 194, 688. \leqno (E) $$ \itemnum On considère dans cette question que $\omega = 20 \rd . \s ^{-1}$. \itemitemalph Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle $x'' + (2\, 704 - \omega ^2) x = 0$. \itemitemalph Déterminer une fonction constante solution de $(E)$. En déduire la forme générale des solutions de $(E)$ puis la solution particulière vérifiant les conditions initiales données. \itemitemalph La position du point $P$ est donnée par~: $$ x (t) = - 0, 012\, 5 \cos (48 t) + 0, 084\, 5. $$ Le point $P$ atteint-il la butée~? \itemnum On considère maintenant que $\omega = 110, 5 \rd . \s ^{-1}$. \itemitemalph En adoptant la même démarche qu'à la question {\bf 1.}, montrer que la forme générale des solutions de l'équation $(E)$ est~: $$ C_1 e^{97, 5 t} + C_2 e^{-97, 5 t} - 0, 020\, 48 $$ puis déterminer la solution particulière $x$ vérifiant les conditions initiales données. \itemitemalph Calculer $x (0, 01)$ et $x (0, 02)$. Interpréter le résultat. \itemnum On considère enfin que $\omega = 52 \rd . \s ^{-1}$. \itemitemalph Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions initiales données. \itemitemalph \`A quel instant le point $P$ atteint-il la butée~? \finexo \corrige {} {\sl Question préliminaire~:} Comme $k/M = 2\, 704$, on vérifie facilement que l'équation différentielle $(2)$ s'écrit~: $$ x'' + (2\, 704 - \omega ^2) x = 194, 688. \leqno (E) $$ \itemnum Avec $\omega = 20$, l'équation $(E)$ s'écrit $$ \dresultat {x'' + 2\, 304 x = 194, 688}. \leqno (E) $$ \itemalph L'équation sans second membre $(E_0)$~: $x'' + (2\, 704 - \omega ^2) x = 0$ s'écrit $$ (E_0) \qquad x'' + 2\, 304 x = 0 \qquad \hbox {d'équation caractéristique} \qquad r^2 + 2\, 304 = 0 $$ L'équation caractéristique admet les deux solutions complexes conjuguées $r = \pm i \sqrt {2\, 304} = \pm 48i$. La solution générale de l'équation sans second membre $(E_0)$ est donc la fonction $$\dresultat { x (t) = A \cos (48 t) + B \sin (48 t) \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques.} }$$ \itemalph La fonction constante $x$ définie pour tout réel $t$ par $$\dresultat { x (t) = {194, 688 \over 2\, 304} = 0, 084\, 5 }$$ est une solution évidente de l'équation $(E)$. \item {$\bullet $} La forme générale des solutions de l'équation $(E)$ est donc $$\dresultat { x (t) = 0, 084\, 5 + A \cos (48 t) + B \sin (48 t) \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques.} }$$ \item {$\bullet $} Sachant que la fonction cherchée a une écriture de ce type, elle vérifiera donc $$ x (0) = 0, 084\, 5 + A \qquad {\rm et} \qquad x' (t) = -48 A \sin (48 t) + 48 B \cos (48 t) \quad {\rm soit} \quad x' (0) = 48 B. $$ Des conditions initiales $x (0) = \ell _0$ et $x' (0) = 0$, on déduit alors le système $$ \cases { 0, 084\, 5 + A = \ell _0 = 0, 072 \cr 0 = 48 B \cr} \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {(A\; ; B) = (-0, 012\, 5 \; ; 0)} $$ \item {$\bullet $} Finalement, la solution particulière cherchée est la fonction $x$ définie par $$\dresultat { x (t) = 0, 084\, 5 - 0, 012\, 5 \cos (48 t) }$$ \itemalph Le point $P$ atteint la butée s'il existe un nombre réel positif $t$ tel que $x (t) = \ell = 0, 12$. Autrement dit s'il existe une solution réelle $t$ à l'équation $$ \cos (48 t) = {0, 084\, 5 - 0, 12 \over 0, 012\, 5} \approx -2, 85. $$ Comme la valeur d'un cosinus est toujours comprise entre $-1$ et 1, on peut affirmer que cette équation n'a pas de solution réelle. Le point \tresultat {$P$ n'atteint pas la butée} dans ce cas de figure. \itemnum Avec $\omega = 110, 5$, l'équation $(E)$ s'écrit $$ \dresultat {x'' - 9\, 506, 25 x = 194, 688}. \leqno (E) $$ \itemalph L'équation sans second membre $(E_0)$~: $x'' + (2\, 704 - \omega ^2) x = 0$ s'écrit $$ (E_0) \qquad x'' - 9\, 506, 25 x = 0 \qquad \hbox {d'équation caractéristique} \qquad r^2 - 9\, 506, 25 = 0 $$ L'équation caractéristique admet les deux racines réelles $r = \pm \sqrt {9\, 506, 25} = \pm 97, 5$. La solution générale de l'équation sans second membre $(E_0)$ est donc la fonction $$\dresultat { x (t) = A e^{97, 5 t} + B e^{-97, 5 t} \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques.} }$$ \itemalph La fonction constante $x$ définie pour tout réel $t$ par $$\dresultat { x (t) = {194, 688 \over - 9\, 506, 25} = - 0, 020\, 48 }$$ est une solution évidente de l'équation $(E)$. \item {$\bullet $} La forme générale des solutions de l'équation $(E)$ est donc $$\dresultat { x (t) = - 0, 020\, 48 + C_1 e^{97, 5 t} + C_2 e^{-97, 5 t} \qquad \hbox {où $C_1$ et $C_2$ constantes réelles quelconques.} }$$ \item {$\bullet $} Sachant que la fonction cherchée a une écriture de ce type, elle vérifiera donc $$ x (0) = - 0, 020\, 48 + C_1 + C_2 \qquad {\rm et} \qquad x' (t) = 97, 5 C_1 e^{97, 5 t} - 97, 5 C_2 e^{-97, 5 t} \quad {\rm soit} \quad x' (0) = 97, 5 (C_1-C_2) $$ Des conditions initiales $x (0) = \ell _0$ et $x' (0) = 0$, on déduit alors le système $$\displaylines { \cases { - 0, 020\, 48 + C_1 + C_2 = \ell _0 = 0, 072 \cr 0 = 97, 5 (C_1-C_2) \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases { C_1 = {1\over 2} (0, 072 + 0, 020\, 48) \cr C_1 = C_2 \cr} \cr {\rm d'où} \qquad \dresultat {(C_1\; ; C_2) = (0, 046\, 24 \; ; 0, 046\, 24)} \cr }$$ \item {$\bullet $} Finalement, la solution particulière cherchée est la fonction $x$ définie par $$\dresultat { x (t) = - 0, 020\, 48 + 0, 046\, 24 \left( e^{97, 5 t} + e^{-97, 5 t}\right) }$$ \itemalph Avec cette dernière fonction, on a \dresultat {x (0, 01) \approx 0, 119\, 5} et \dresultat {x (0, 02) \approx 0, 311}. On en déduit que la distance $\ell = 0, 12$ est atteinte pour un instant $t_0 \in [0, 01 \; ; 0, 02]$. En résumé, \tresultat {le point $P$ atteint la butée}. \itemnum Avec $\omega = 52$, l'équation $(E)$ s'écrit $$ \dresultat {x'' = 194, 688}. \leqno (E) $$ \itemalph L'équation sans second membre $(E_0)$~: $x'' + (2\, 704 - \omega ^2) x = 0$ s'écrit $$ (E_0) \qquad x'' = 0 \qquad \hbox {d'équation caractéristique} \qquad r^2 = 0 $$ L'équation caractéristique admet la racine double $r = 0$. La solution générale de l'équation sans second membre $(E_0)$ est donc la fonction $$\dresultat { x (t) = A t + B \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques.} }$$ \item {$\bullet $} Pour déterminer une solution évidente de l'équation $(E)$, il suffit de faire deux intégrations successives. Une primitive de $x'' = 194, 688$ est $x' = 194, 688 t$, et une primitive de $x'$ est la fonction $$ x (t) = 194, 688 {t^2 \over 2} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {x (t) = 97, 344 t^2} $$ \item {$\bullet $} La forme générale des solutions de l'équation $(E)$ est donc $$\dresultat { x (t) = 97, 344 t^2 + A t + B \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques.} }$$ \item {$\bullet $} Sachant que la fonction cherchée a une écriture de ce type, elle vérifiera donc $$ x (0) = B \qquad {\rm et} \qquad x' (t) = 194, 688 t + A \quad {\rm soit} \quad x' (0) = A $$ Des conditions initiales $x (0) = \ell _0$ et $x' (0) = 0$, on déduit alors le système $$\displaylines { \cases { B = \ell _0 = 0, 072 \cr A = 0 \cr} \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {(A\; ; B) = (0 \; ; 0, 072)} \cr }$$ \item {$\bullet $} Finalement, la solution particulière cherchée est la fonction $x$ définie par $$\dresultat { x (t) = 97, 344 t^2 + 0, 072. }$$ \itemalph Si le point $P$ atteint la butée à l'instant $t_0$, on aura $x (t_0) = \ell $. Il faut donc résoudre l'équation $$ 97, 344 t^2 + 0, 072 = 0, 12 \qquad \Longleftrightarrow \qquad t^2 = {0, 12 - 0, 072 \over 97, 344} \approx 4, 9 . 10^{-4} \qquad \Longleftrightarrow \qquad t \approx \pm \sqrt {4, 9 . 10^{-4}} $$ L'instant $t_0$ cherché est la seule solution positive, soit \dresultat {t_0 \approx 0, 022 \ms }. \fincorrige