\exo {Amortissement d'une enclume, {\sl Bts Mécanique et Automatismes Industriels, 1993}} \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \epsfxsize 60mm Pour éviter les perturbations crées par les vibrations lors du choc d'un marteau sur une enclume, on munit l'enclume de deux ressorts et d'un amortisseur selon le schéma ci-dessous~: $$ \vcenter {\epsillustrate {equ2_013a.ps}} \qquad \vcenter { \hbox {masse du marteau~: $m_1 = 1 \times 10^3 \kg $} \hbox {masse de l'enclume~: $m_2 = 14 \times 10^3 \kg $} \hbox {constante de raideur d'un ressort~: $k = 183 \times 10^4$~Nm$^{-1}$} \hbox {constante de l'amortisseur~: $\mu = 2, 4 \times 10^4$~u SI} } $$ On suppose qu'après le choc, les deux parties (marteau-enclume) restent solidaires. La cote du point $M$ à l'instant $t$ est repérée par $z (t)$ mesurée sur l'axe indiqué sur le schéma. On choisit l'origine des temps $t=0$ à l'instant où l'ensemble marteau-enclume arrive au point le plus bas de la première oscillation. \def \d {% {\rm d}} \itemnum La cote $z (t)$ (mesurée en mètres) est solution de l'équation différentielle~: $$ (m_1 + m_2) {\d ^2z\over \d t^2} + \mu {\d z\over \d t} + 2kz = 0. \leqno (E) $$ Soit $$ 15 z'' + 24 z' + 3\, 660 z = 0. \leqno (E) $$ \itemitemalph Donner la solution générale de $(E)$ sous la forme~: $$ z (t) = e^{-\alpha t} (A\cos (\beta t) + B \sin (\beta t)) $$ en déterminant les valeurs de $\alpha $ et $\beta $. \itemitemalph Les mesures initiales pour $t = 0$ sont $$ z (0) = -50, 7 \times 10^{-3} \qquad {\rm et} \qquad z' (0) = 0. $$ Exprimer alors la solution de $(E)$ qui vérifie ces deux conditions en déterminant $A$ et $B$. \itemnum La position à l'instant $t$ est maintenant donnée par $$ z (t) = - (50, 7 \cos (15, 6t) + 2, 6 \sin (15, 6t)) \times 10^{-3} \times e^{-0, 8t}. $$ \itemitemalph Déterminer, dans l'intervalle $[0, 1]$ à $10^{-2}$ près chacun, les instants $t$ pour lesquels $z (t) = 0$. \itemitem {} ({\sl On rappelle que les solutions de l'équation $\tan x = \tan a$ sont de la forme $x = a + n\pi $, $n$ étant un entier.}) \itemitemalph Calculer $\tan (15, 6t)$ lorsque $z (t)$ est extrêmal, c'est à dire quand $z' (t) = 0$. En déduire, dans l'intervalle $[0, 1]$, les valeurs approchées correspondantes de $t$ à $10^{-2}$ près. \itemitemalph Tracer, sur une feuille millimétrée, la courbe représentative de $z$ en fonction de $t$ lorsque $t$ varie dans $[0, 1]$. \itemitem {} (Sur l'axe des abscisses, gradué de 0 à 1, 20~cm représenteront une seconde.) {\bf Nota~:} Le texte ci-dessus correspond au texte d'examen. Ici, vous pouvez prendre une feuille non millimétrée (petits carreaux ou grand carreaux), et les étudiants ayant des feuilles à grands carreaux peuvent prendre comme unité 20~grands carreaux pour une seconde. \finexo \corrige {} \itemnum \` A résoudre l'équation différentielle $$ 15 z'' + 24 z' + 3\, 660 z = 0. \leqno (E) $$ \itemalph L'équation caractéristique associée est $$ 15 r^2 + 24 r + 3\, 660 = 0, $$ équation dont le discrimant est $\Delta = -219\, 024 = (468 i)^2$, d'où les deux racines $r = - {1\over 5} (4 \pm 78i)$. Les solutions de l'équation $(E)$ sont donc toutes les fonctions $y$ ayant une écriture du type $$\dresultat { y (t) = e^{-4t / 5} \left( A \cos \left( {78 t \over 5} \right) + B \sin \left( {78 t \over 5} \right) \right) } \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques.} $$ Soit encore \dresultat {y (t) = e^{-0, 8t} \left( A \cos (15, 6 t) + B \sin (15, 6 t) \right)}. \itemalph Les conditions initiales sont $z (0) = -50, 7 \times 10^{-3}$ et $z' (0) = 0$. La première condition donne \dresultat {A = -50, 7 \times 10^{-3}}. Et comme $$ z' (t) = e^{-0, 8t} \left( -15,6 A \sin (15, 6 t) + 15, 6 B \cos (15, 6 t) -0, 8 A \cos (15, 6 t) - 0, 8 B \sin (15, 6 t) \right) , $$ on tire de la deuxième condition la relation $$ 15, 6 B - 0, 8 A = 0 \qquad {\rm d'où} \qquad B = {0, 8 \over 15, 6} A \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {B = -2, 6 \times 10^{-3}}. $$ Finalement, la seule solution de $(E)$ vérifiant les deux conditions initiales données est la fonction $z$ définie par $$\dresultat { z (t) = - e^{-0, 8t} \times 10^{-3} \times \left( 50, 7 \cos (15, 6 t) + 2, 6 \sin (15, 6 t) \right) }$$ \itemalphnum On a $z (t) = 0$ si et seulement si $$\displaylines { 50, 7 \cos (15, 6t) + 2, 6 \sin (15, 6 t) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad {\sin (15, 6 t) \over \cos (15, 6t)} = - {50, 7 \over 2, 6} \quad \Longleftrightarrow \quad \tan (15, 6 t) = -19, 5 \cr \Longleftrightarrow \quad 15, 6 t = \arctan (-19, 5) + k \pi, \quad k \in \zset \quad \Longleftrightarrow \quad \dresultat {t = {\arctan (-19, 5) \over 15, 6} + k {\pi \over 15, 6}, \quad k \in \zset}. }$$ Dans l'intervalle $[0, 1]$, les solutions sont \mresultat {t \approx 0, 10\, ; t \approx 0, 30\, ; t \approx 0, 51\, ; t \approx 0, 71\, ; t \approx 0, 91}. \itemalph On a $$\eqalign { z' (t) &= -e^{-0, 8 t} \times 10^{-3} \times \left( -0, 8 \times 50, 7 \cos (15, 6 t) -0, 8 \times 2, 6 \sin (15, 6t) \right. \cr & \quad \left. - 15, 6 \times 50, 7 \sin (15, 6t) + 15, 6 \times 2, 6 \cos (15, 6t)\right) \cr &= e^{-0, 8 t} \times 10^{-3} \times \left( 793 \sin (15, 6t) \right) }$$ D'où $$ z' (t) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin (15, 6 t) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 15, 6 t = k \pi \quad \Longleftrightarrow \quad t = k {\pi \over 15, 6}, \quad k \in \zset $$ Dans ce cas, $\tan (15, 6 t) = \tan (k \pi ) = 0$, et on a une tangente horizontale. Dans l'intervalle $[0, 1]$, cela correspond aux valeurs de $t$ suivantes~: \mresultat {t \approx 0, 20 ;\, t \approx 0, 40 ;\, t \approx 0, 60 ;\, t \approx 0, 80} \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \epsfxsize = 80mm \itemalph D'où la courbe de la fonction $z$~: $$ \superboxepsillustrate {equ2_013b.ps} $$ \fincorrige