\exo {Flambement d'une poutre} On se propose d'étudier la déformation élastique par flambement d'une poutre arquée. On soumet cette poutre à une force longitudinale d'intensité $F$. On montre que la déformation élastique $d$ qu'elle subit alors est la solution particulière nulle pour $x=0$ et $x=1$ de l'équation différentielle $$ y'' + \omega ^2 y = - \omega ^2 \sin (\pi x) \leqno (E) $$ dans laquelle $y$ désigne une fonction numérique définie sur l'intervalle $[0, 1]$, admettant des dérivées première et seconde sur cet intervalle et $\omega $ est un nombre réel de l'intervalle $]0, \pi [$ dépendant de $F$. \remarque La phrase précédente signifie en particulier que~: \qquad \qquad {--} $d$ est solution de $(E)$ \qquad \qquad {--} on a $d (0) = 0$ et $d (1) = 0$. \finremarque \itemitemalphnum Donner la solution générale de l'équation sans second membre $$ y'' + \omega ^2 y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemitemalph Déterminer le réel $k$ tel que la fonction qui à $x$ fait correspondre $k \sin (\pi x)$ soit solution de l'équation $(E)$. \itemitemalph En déduire la solution générale de l'équation $(E)$. \itemnum Exprimer la déformation élastique $d$ en fonction de $\omega $ et de $x$. \itemitemalphnum Montrer que la dérormation est maximale pour $x = 1/2$. \itemitemalph Exprimer ce maximum en fonction de $\omega $. \itemitemalph Interpréter physiquement la situation lorsque $\omega $ prend des valeurs proches de $\pi $. \finexo \corrige {} \itemalphnum L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est $r^2 + \omega ^2 = 0$. Cette dernière équation admet les deux racines complexes conjuguées $r = \pm \omega i$. On en déduit la solution générale de $(E_0)$~: $$\dresultat { y = A \sin (\omega x) + B \cos (\omega x) \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques} }$$ \itemalph Si $f (x) = k \sin (\pi x)$, alors $f' (x) = k \pi \cos (\pi x)$ et $f'' (x) = -k \pi ^2 \sin (\pi x)$. En reportant dans le premier membre de l'équation $(E)$~: $$ y'' + \omega ^2 y = - \omega ^2 \sin (\pi x), \leqno (E) $$ il vient alors $$ f'' + \omega ^2 f = - k \pi ^2 \sin (\pi x) + \omega ^2 k \sin (\pi x) \qquad {\rm soit} \qquad f'' + \omega ^2 f = k (\omega ^2 - \pi ^2) \sin (\pi x). $$ Pour avoir $f$ solution particulière de $(E)$, il faut donc avoir $$ k (\omega ^2 - \pi ^2) = \omega ^2 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {k = {- \omega ^2 \over \omega ^2 - \pi ^2}} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {f (x) = {\omega ^2 \sin (\pi x)\over \pi ^2 - \omega ^2}} $$ \itemalph La solution générale de $(E)$ est obtenue en additionnant une solution particulière et la solution générale de l'équation sans second membre. Ici cela donne~: $$\dresultat { y (x) = {\omega ^2 \sin (\pi x)\over \pi ^2 - \omega ^2} + A \sin (\omega x) + B \cos (\omega x) \qquad {\rm où} \qquad A, B \in \rset }$$ \itemnum Sachant que $d$ s'écrit comme une solution de $(E)$ avec $d (0) = 0$ et $d (1) = 0$, et comme $$ d (0) = B \qquad {\rm et} \qquad d (1) = A \sin \omega + B \cos \omega $$ il vient \dresultat {B = 0} puis \dresultat {A = 0} (car $\sin \omega \neq 0$ puisque $\omega \in ]0, \pi [$), soit finalement $$ \dresultat {d (x) = {\omega ^2 \sin (\pi x)\over \pi ^2 - \omega ^2}}. $$ \itemnum Dans ce cas la dérivée $d'$ est $$ d' (x) = {\pi \omega ^2 \over \pi ^2 - \omega ^2} \cos (\pi x), $$ et elle est du signe de $\cos (\pi x)$ car $\pi ^2-\omega ^2$ est positif (puisque l'on a, je le rappelle, $0 < \omega < \pi $). On en déduit le tableau de variations de $d$, en remarquant que si $x \in [0, 1]$, alors $X = \pi x \in [0, \pi ]$, et $\cos X$ s'annule pour $X = \pi /2$~: $$ \vcenter {\eightpoint \rm \def \hfq {\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule depth 5pt & $0$&& $1/2$&& $1$% \cr \noalign{\hrule} $d' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $-$& $0$& $+$ \cr \noalign{\hrule} \bbuucenter {$d (x)$}& \vrule & \down {$0$}& \bbrightuuparrow & \bbuup {$\displaystyle {\omega ^2\over \pi ^2 - \omega ^2}$}& \bbrightddownarrow & \down {$0$}& \cr }} $$ On a donc bien une \tresultat {déformation maximale pour $x=1/2$}, et ce maximum est \dresultat {{\omega ^2\over \pi ^2 - \omega ^2}}. \item {} Si $\omega $ prend des valeurs proches de $\pi $, le terme $\pi ^2 - \omega ^2$ va prendre des valeurs proches de~$0$, et le maximum de déformation va tendre vers l'infini, amenant sans aucun doute la rupture de la pièce considérée. \fincorrige