\exo {Problème d'examen, {\sl Bts Mécanique et Automatismes Industriels, 1999}} \let \partie \centerpartie \centerline {\sl Les parties {\bf A.} et {\bf B.} peuvent être traitées de façon indépendante} \partie {A -- Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle $$ y'' -2y' + y = {x^2 \over 2} - x- 1 \leqno (E) $$ où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et deux fois dérivable sur $\rset $, $y'$ la fonction dérivée de $y$, et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation différentielle $$ y'' -2y' + y = 0. \leqno (E') $$ \itemnum Déterminer les constantes réelles $a$, $b$, $c$ pour que la fonction $g$ définie sur $\rset $ par $$ g (x) = ax^2 + bx + c $$ soit une solution particulière de l'équation $(E)$ \itemnum Déduire du {\bf 1.} et du {\bf 2.} l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \itemnum Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $$ f (0) = 0 \qquad {\rm et} \qquad f (1) = e + {3\over 2}. $$ \partie {B -- \'Etude d'une fonction} Soient $f$ et $g$ les deux fonctions de la variable $x$ définies sur $\rset $ par $$ f (x) = xe^x + {x^2 \over 2} + x \qquad {\rm et} \qquad g (x) = {x^2 \over 2} + x. $$ On note $\cal C$ la courbe représentative de $f$ et $\cal P$ la courbe représentative de $g$ dans le repère orthonormal $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$ (unité graphique $2$~cm). \itemnum Déterminer $\displaystyle \lim _{x \to +\infty } f (x) $, $\displaystyle \lim _{x \to -\infty } f (x) $, et $\displaystyle \lim _{x \to -\infty } \left[ f (x) - g (x) \right] $. \item {} Interpréter graphiquement le dernier résultat. \itemnum \'Etudier sur $\rset $ la position relative des deux courbes $\cal C$ et $\cal P$. \itemitemalphnum Démontrer que pour tout $x$ de $\rset $~: \quad $f' (x) = (x+1) (e^x + 1)$. \itemitemalph \'Etudier les variations de $f$ sur $\rset $. \itemitemalphnum Compléter le tableau de valeurs figurant sur la feuille annexe (à rendre avec la copie)~; les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près. \itemitemalph Construire la courbe $\cal C$ dans le repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$ sur la feuille annexe (à rendre avec la copie) où figure la courbe $\cal P$. \itemitemalphnum Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\cal C$, la parabole $\cal P$ et les droites d'équations $x=-3$ et $x=-2$ est $A = 4 \left( -4 e^{-3} + 3 e^{-2}\right) $. \itemitemalph Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $A$. %\vfill \eject \newcount \tmpcount \tmpcount \exono \titre {Feuille annexe (à rendre avec la copie)} \global \exono \tmpcount \partie {B} \advance \numno by 3 \itemitemalphnum $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 14mm {\hfil #1 \hfil }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -3&& -2, 5&& -2&& -1, 5&& -1&& -0, 5&& 0&& 0, 5&& 1& \cr \noalign {\hrule } & f (x)&& && && && && && && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} \epsfxsize = 100mm \itemitemalph $$ \superboxepsillustrate {equ2_015a.ps} $$ \finexo \corrige \let \partie \llappartie \partie {A} % \num \ L'équation caractéristique associée à l'équation $(E')$ est $r^2 - 2r + 1 = 0$. Cette dernière admet la racine réelle double $r = 1$. On en déduit que les solutions de l'équation $(E')$ sont toutes les fonctions $y$ ayant une écriture du type $$\dresultat { y (x) = e^x (Ax + B), \qquad {\rm où} \qquad \hbox {$A$ et $B$ constantes réelles quelconques}. }$$ \num \ Si $g (x) = ax^2 + bx + c$, alors $g' (x) = 2ax + b$ et $g'' (x) = 2a$. En reportant dans l'équation différentielle $(E)$, on voit que $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si $$ (2a - 2b + c) + (b-4a) x + ax^2 = {1\over 2} x^2 - x - 1 $$ autrement dit, en identifiant les coefficients dans chacun des deux membres, si et seulement si le triplet $(a, b, c)$ est solution du système $$ \cases { 2a - 2b + c = -1 \cr b-4a = -1 \cr a = 1/2 \cr } $$ Finalement, on trouve $(a, b, c) = (1/2, 1, 0)$ et la solution particulière cherchée est \dresultat {g (x) = {1\over 2} x^2 + x}. \num \ Pour avoir la solution générale de $(E)$, il suffit d'additionner la solution générale de $(E')$ et la solution particulière de $(E)$. Les solutions de l'équation $(E)$ sont donc toutes les fonctions $y$ ayant une écriture du type $$\dresultat { y (x) = {1\over 2} x^2 + x + e^x (Ax + B), \qquad {\rm où} \qquad \hbox {$A$ et $B$ constantes réelles quelconques}. }$$ \num \ En écrivant que la fonction $f$ est une solution de $(E)$ vérifiant les conditions initiales $f (0) = 0$ et $f (1) = e + 3/2$, il vient $B = 0$ (puisque $f (0) = B$) et $A = 1$ (puisque $f (1) = Ae + 3/2$), d'où la solution cherchée $$ \dresultat {f (x) = {1\over 2} x^2 + x + xe^x}. $$ \partie {B} % \num On a clairement \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty }. De plus \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = +\infty } puisque $\displaystyle \lim _{x\to -\infty } xe^x = 0$. Et comme $f(x) - g (x) = xe^x$, il vient également \dresultat {\lim _{x\to -\infty } \big[ f (x) - g (x)\big] = 0}, ce qui signifie géométriquement que \tresultat {les courbes $\cal C$ et $\cal P$ sont asymptotes en $-\infty $} \num \ \' Etudier les positions relatives de $\cal C$ et $\cal P$ revient à étudier le signe de la différence $f (x) - g(x) = xe^x$. Cette différence est bien entendu du signe de $x$ puisque $e^x$ est toujours positif. On a donc $$ \tresultat {$\cal C$ en dessous de $\cal P$ sur $]-\infty , 0]$}, \qquad {\rm et} \qquad \tresultat {$\cal C$ en dessus de $\cal P$ sur $[0, +\infty [$}. $$ \alphnum \ On vérifie facilement que \dresultat {f' (x) = (x+1)(1+e^x)}. \alph \ Et comme $1+e^x$ est toujours positif (comme somme de nombres positifs), on a $f' (x)$ du signe de $x+1$. On obtient alors le tableau de variations suivant~: $$ \dresultat {\vcenter {\eightpoint \rm \def \hfq {\hfil \ } \offinterlineskip \halign { % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule depth 5pt & $-\infty $&& $0$&& $+\infty $% \cr \noalign {\hrule } $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt & & $-$& $0$& $+$ \cr \noalign {\hrule } \bbuucenter {$f (x)$}& \vrule & \bbuup {$+\infty $}& \bbrightddownarrow & \down {$\approx -0, 87$}& \bbrightuuparrow & \bbuup {$+\infty $}& \cr }}} \qquad f (0) = -{1\over 2} - {1\over e} $$ \alphnum \ Le tableau de valeurs~: $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 14mm {\hfil #1\hfil }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -3&& -2, 5&& -2&& -1, 5&& -1&& -0, 5&& 0&& 0, 5&& 1& \cr \noalign {\hrule } & f (x)&& 1, 35&& 0, 42&& -0, 27&& -0, 71&& -0, 87&& -0, 68&& 0&& 1, 45&& 4, 22& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} %% $HOME/tex_doc/site-rectorat/essai_02/} \epsfxsize = 100mm \alph \ et la courbe~: $$ \superboxepsillustrate {equ2_015b.ps} $$ \alphnum \ Vu les positions relatives étudiées précédemment, et l'unité d'aire étant de $4 \cm ^2$, on sait que l'aire cherchée est donnée par $$\eqalign { A &= 4 \int _{-3}^{-2} g (x) - f (x) \, dx \cr &= 4 \int _{-3}^{-2} -x e^x\, dx \qquad \hbox {on pose $U = -x$ et $V' = e^x$} \cr &= 4 \left( \int _{-3}^{-2} -e^x\, dx - \big[ -xe^x \big] _{-3}^{-2} \right) \cr &= 4\left( \big[ -e^x \big] _{-3}^{-2} - \big[ -xe^x \big] _{-3}^{-2} \right) = -4 \big[ e^x (1+x) \big] _{-3}^{-2} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {A = 4\big( 3e^{-2}-4e^{-3} \big) \cm ^2}. \cr }$$ \alph \ Et \dresultat {A \approx 0, 83 \cm ^2}. \fincorrige