\exo {Le second membre est constant} On considère l'équation différentielle $$ y'' - 4y' + 3y = 3. \leqno (E) $$ \itemitemalphnum Résoudre l'équation différentielle $$ y'' - 4y' + 3y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemitemalph Déterminer le nombre réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur $\rset $ par $g (x) = a$ soit une solution particulière de $(E)$. \itemitemalph En déduire la solution générale de $(E)$. \itemnum Déterminer la solution particulière de $(E)$ vérifiant les 2~conditions~: $$ f (0) = -1 \qquad {\rm et} \qquad f' (0) = 2. $$ \finexo \corrige {} \alphnum \ L'équation caractéristique associée à l'équation sans second membre $(E_0)$ est $$ r^2 - 4r + 3 = 0. $$ Cette dernière équation admettant les 2~solutions réelles $r_1 = 3$ et $r_2 = 1$, on en déduit que la solution générale de $(E_0)$ est la fonction $y$ définie par $$ \dresultat {y (x) = A e^{3x} + B e^x} \qquad \hbox {où $A$ et $B$ contantes réelles quelconques} $$ \alph \ Cherchons une solution particulière de $(E)$ sous la forme d'une fonction constante $g$ définie pour tout réel $x$ par $g (x) = a$, où $a$ est une constante réelle à déterminer. On a alors $g' (x) = g '' (x) = 0$ pour tout $x$. Or l'hypothèse \og $g$ solution de $(E)$\fg \ impose la condition $$ g'' - 4g' + 3g = 3 \qquad {\rm soit} \qquad 3a = 3 $$ On en déduit que la fonction constante $g$ définie pour tout réel $x$ par \dresultat {g (x) = 1} est une solution particulière de l'équation $(E)$. \alph \ Pour obtenir la solution générale de $(E)$, il suffit d'additionner la solution générale de $(E_0)$ à une solution particulière de $(E)$. On en déduit la solution générale de $(E)$~: $$ \dresultat {y (x) = 1 + Ae^{3x} + B e^x} \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques} $$ \num \ Si $f$ est une solution de $(E)$, on aura donc $ f' (x) = 3Ae^{3x} + B e^x $, et les conditions initiales $f (0) = -1$ et $f' (0) = 2$ vont alors imposer les relations $$ 1+A+B = -1 \qquad {\rm et} \qquad 3A + B = 2. $$ De ces relations, on déduit $(A, B) = (2, -4)$. D'où la seule solution de $(E)$ vérifiant les 2~conditions initiales~: $$ \dresultat {f (x) = 1 + 2e^{3x} - 4e^x} $$ \fincorrige