\exo {Mouvement amorti} \let \partie \llappartie \centerline {\sl Les deux parties peuvent se traiter indépendamment l'une de l'autre.} \partie {A} \vskip -5mm Lors de l'étude d'un mouvement amorti, on étudie l'équation différentielle~: $$ y'' + 4y' + 4y = 2, \leqno (E) $$ où $y$ est une fonction de $t$, définie et 2~fois dérivable sur $\rset $. \itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle $$ y'' + 4y' + 4y = 0 \leqno (E_0) $$ \itemnum Montrer qu'il existe une fonction constante solution de $(E)$. \itemnum Donner l'ensemble des solutions de $(E)$. \partie {B} \vskip -5mm On étudie à présent la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty [$ par $$ f (t) = {1\over 2} + \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}. $$ \itemitemalphnum Déterminer $f(0)$. \itemitemalph Déterminer $\displaystyle {\lim _{t\to +\infty } f (t)}$. (On rappelle que $\displaystyle {\lim _{t\to +\infty } {x\over e^x} = 0}$.) \itemitemalphnum Déterminer la dérivée $f' (t)$ de la fonction $f$. \itemitemalph \' Etudier le signe de la dérivée $f' (t)$. \itemitemalph Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$. \itemitemalphnum Montrer que le développement limité à l'ordre 3 en 0 de la fonction $f$ est~: $$ f (t) = 2t -3t^2 + {8\over 3}t^3 + t^3\epsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0 $$ \itemitemalph En déduire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse~0. \itemnum Soit $g$ la fonction définie sur $[0, +\infty [$ par $$ g (t) = f (t)- {1\over 2} \qquad {\rm soit} \qquad g (t) = \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}. $$ \item {} Calculer, en utilisant une intégration par parties, l'intégrale $$ I = \int _0^2 g (t) \, dt. $$ \finexo \corrige {} \let \partie \llappartie \partie {A} \vskip -5mm \itemnum \` A résoudre l'équation $$ y'' + 4y' + 4y = 0. \leqno (E_0) $$ L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est $r^2 + 4r + 4 = 0$, de discriminant $\Delta = 0$ et de racine double $r = -2$. On en déduit que les solutions de $(E_0)$ sont toutes les fonctions $y$ ayant une écriture du type $$ \dresultat {y (t) = (At+B) e^{-2t} } \qquad \hbox {où $A$, $B$ sont des constantes réelles quelconques.} $$ \itemnum Soit la fonction constante $g$ définie par $g (x) = a$ pour une certaine constante réelle $a$ inconnue. On aura alors $g' (x) = 0 = g'' (x)$ pour tout $x$. En écrivant maintenant que $g$ vérifie l'équation $(E)$, il vient alors $$ 0 + 4\times 0 + 4a = 2, $$ d'où $a=2$ et la fonction $g$ définie par \tresultat {$g (x) = {1\over 2}$ est solution particulière de $(E)$}. \itemnum On a immédiatement la solution générale de $(E)$ en additionant la solution générale de $(E_0)$ avec une solution particulière de $(E)$. Ici on obtient \mresultat {y (t) = {1\over 2} + (At+B) e^{-2t}}, où $A$, $B$ sont des constantes réelles quelconques. \bigskip \partie {B} \vskip -7mm Soit donc la fonction $f$ sur $[0, +\infty [$ définie par $\displaystyle {f (t) = {1\over 2} + \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}}$. \itemnum On trouve \dresultat {f (0) = 0}. Quand à la limite, il vient $$ \lim _{t\to +\infty } f (t) = \lim _{t\to +\infty } {1\over 2} + t e^{-2t} - {1\over 2} e^{-2t} = \dresultat {{1\over 2} = \lim _{t\to +\infty } f (t)} \qquad {\rm puisque} \qquad \cases { \lim _{t\to +\infty } e^{-t} = 0 \cr \lim _{t\to +\infty } te^{-t} = 0 \cr } $$ \itemalphnum On trouve \dresultat {f' (t) = 2 (1-t) e^{-2t}}. \itemalph \alph \ D'où le tableau $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr t&& 0&&& 1&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt } 1-t&& && +& 0& - \cr \noalign {\hrule } e^{-2t}&& && +& \tv & + \cr \noalign {\hrule height 1pt} f' (x)&& && +& 0& - \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& & \down {$0$}& \brightuuparrow & \buup {${1\over 2} (1+e^{-2}) \approx 0, 57$}& \brightddownarrow & \down {$1/2$} \cr }} }$$ \itemalphnum On sait que l'on a $$ e^u = 1 + u + {u^2\over 2} + {u^3\over 6} + u^3\epsilon (u) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{u\to 0} \epsilon (u) = 0 $$ Par substitution, en posant $u = -2t$, on obtient alors $$ e^{-2t} = 1 -2t + 2t^2 - {4\over 3}t^3 + t^3\epsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0 $$ En multipliant alors le développement obtenu par le polynôme $(t-{1\over 2})$, il vient $$\eqalign { \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t} &= \left( t - {1\over 2}\right) \left( 1 -2t + 2t^2 - {4\over 3}t^3\right) + t^3\epsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0 \cr &= t -2t^2 + 2t^3 - {1\over 2} + t - t^2 + {2\over 3}t^3 + t^3\epsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0 \cr } $$ Soit finalement $$ \dresultat {f (t) = 2t -3t^2 + {8\over 3}t^3 + t^3\epsilon (t) } \qquad {\rm avec} \qquad \lim _{t\to 0} \epsilon (t) = 0 $$ \itemalph On en déduit immédiatement une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse~0~: \dresultat {y = 2t} \itemnum En intégrant l'intégrale demandée par parties, il vient $$\eqalign { I &= \int _0^2 \left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t} \, dt \qquad \hbox {de la forme} \qquad \int V U' \qquad {\rm avec} \qquad \cases { U' = e^{-2t} &\quad $U = -{1\over 2} e^{-2t}$ \cr V = t - {1\over 2} &\quad $V' = 1$ \cr } \cr &= \Big[ - {1\over 2}\left( t - {1\over 2}\right) e^{-2t}\Big] _0^2 + {1\over 2} \int _0^2 e^{-2t} \, dt \cr &= - {1\over 2} \times {3\over 2}e^{-4} - {1\over 4} + {1\over 2} \Big[-{1\over 2} e^{-2t}\Big] _0^2 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {I = -e^{-4}} \cr }$$ \fincorrige