\exo {Une équation différentielle linéaire d'ordre 2} L'étude d'un système mécanique soumis à un amortissement et à une excitation entretenue, conduit à la résolution de l'équation différentielle suivante où l'inconnue $y$ est fonction du temps $t$, définie et deux fois dérivable sur $[0, +\infty [$~: $$ y'' + 2y' + 2y = 10\cos 2t. \leqno (E) $$ \itemnum Résoudre sur $[0, +\infty [$ l'équation différentielle $$ y'' + 2y' + 2y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemnum Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty [$ par $$ f (t) = 2\sin 2t - \cos 2t $$ est une solution particulière de $(E)$. \itemnum Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0, +\infty [$. \itemnum Déterminer la fonction $g$, solution de l'équation $(E)$ vérifiant les condtions initiales $$ g (0) = 0 \qquad {\rm et} \qquad g' (0) = 2. $$ \finexo \corrige {} \itemnum L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle $(E_0)$ est $r^2 + 2r + 2 = 0$, équation admettant les 2~racines complexes conjuguées $z = -1\pm i$. D'où la solution générale de $(E_0)$~: $$ \tresultat {$y (t) = e^{-t} (A\cos t + B\sin t)$ \quad où $A$ et $B$ sont des constantes réelles arbitraires} $$ \itemnum On a $$ \dresultat {f' (t) = 4\cos 2t + 2\sin 2t} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {f'' (t) = -8\sin 2t + 4\cos2t}. $$ On vérifie lors facilement que $f''+2f'+2f = 10\cos 2t$, ce qui prouve que \tresultat {$f$ est solution particulière de $(E)$}. \itemnum La solution générale de $(E)$ est donc $$ \tresultat {$y (t) = 2\sin 2t - \cos 2t + e^{-t} (A\cos t + B\sin t)$ \quad où $A$ et $B$ sont des constantes réelles arbitraires} $$ \itemnum Si maintenant $g$ est une solution de $(E)$, on aura $$ g' (t) = 4\cos 2t + 2\sin 2t + e^{-t} \big( (B-A)\cos t - (A+B)\sin t\big). $$ Reste à écrire que $g$ répond aux conditions initiales pour obtenir $$ g (0) = -1+A = 0 \qquad {\rm et} \qquad g' (0) = 4 + B - A = 2 $$ d'où l'on tire facilement $(A, B) = (1, -1)$. D'où la solution cherchée~: \dresultat {g (t) = 2\sin 2t - \cos 2t + e^{-t} (\cos t -\sin t)} \fincorrige