\exo {\' Equation différentielle d'ordre 2} On considère l'équation différentielle $$ y'' + 2 y' + 17y = 34. \leqno (E) $$ \itemnum Déterminer une fonction constante $g$ solution particulière de l'équation $(E)$. \itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle $$ y'' + 2 y' + 17y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemnum Déduire des questions précédentes la solution générale de l'équation $(E)$. \itemnum Déterminer la solution $f$ qui vérifie les conditions initiales $$ f (0) = 3 \qquad {\rm et} \qquad f' (0) = -1. $$ \finexo \corrige \itemnum Soit $g$ une fonction constante. On aura alors $$ g' = 0 \qquad {\rm et} \qquad g'' = 0 \qquad {\rm d'où} \qquad g'' + 2 g' + 17g = 17g. $$ Pour que $g$ soit solution de l'équation différentielle $(E)$, il nous faut donc avoir $17g = 34$, autrement dit $17 g (x) = 34$ pour tout réel $x$. On en déduit que la fonction constante $g$ définie pour tout $x$ réel par \dresultat {g (x) = 2} est une solution particulière de l'équation $(E)$. \itemnum L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est $$ r^2 + 2 r + 17 = 0. $$ Le calcul du discriminant nous donne $\Delta = -64 = (8i)^2$ d'où les deux solutions complexes conjuguées de l'équation caractéristique~: $$ z_1 = {-2-8i\over 2} = -1-4i \qquad {\rm et} \qquad z_2 = -1+4i. $$ On en déduit que la solution générale de l'équation sans second membre $(E_0)$ est $$\dresultat { y_0 (x) = (A\cos 4x + B\sin 4x) e^{-x} \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}. }$$ \itemnum On en déduit alors que la solution générale de l'équation $(E)$ est $$\dresultat { y_1 (x) = 2 + (A\cos 4x + B\sin 4x) e^{-x} \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}. }$$ \itemnum Soit $f$ l'une des solutions précédentes. On aura alors $$\displaylines { f (x) = 2 + (A\cos 4x + B\sin 4x) e^{-x} \cr f' (x) = (- 4A\sin 4x + 4B\cos 4x -A\cos 4x - B\sin 4x) e^{-x} \cr }$$ d'où, en utilisant les conditions initiales, $$ f (0) = 2 + A = 3 \qquad {\rm et} \qquad f' (0) = 4B -A = -1. $$ On en déduit sans peine $(A, B) = (1, 0)$, d'où l'unique solution de $(E)$ vérifiant les conditions initiales données~: \dresultat {f (x) = 2 + e^{-x} \cos 4x}. \fincorrige