\exo {Une équation différentielle d'ordre 2} \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/} On considère l'équation différentielle $$ y'' - 2y' + y = x \leqno (E) $$ où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\rset $. \itemnum Vérifier que la fonction numérique $g$ définie par $g (x) = x+2$ est solution de l'équation $(E)$ sur l'ensemble $\rset $ des nombres réels. \itemitemalphnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle $$ y'' - 2y' + y = 0. \leqno (E_0) $$ \itemitemalph Déduire des questions précédentes la forme générale des solutions de l'équation $(E)$. \itemnum La figure ci-dessous donne la courbe représentative $C_f$ dans un repère orthonormal $(0, \vec \imath , \vec \jmath )$ de la fonction $f$, solution de l'équation $(E)$, définie sur $\rset $ par $$\displaylines { f (x) = x + 2 + (1-2x) e^x. \cr \superboxepsillustrate {equ2_024.ps} \cr }$$ \itemitemalph Calculer, pour tout réel $x$, $f' (x)$ et vérifier que $$ f (0) = 3 \qquad {\rm et} \qquad f' (0) = 0. $$ \itemitemalph Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $0$. \itemitemalph On note $A$ le point de la courbe $C_f$ dont l'abscisse $a$ vérifie $f'' (a) = 0$. \itemitem {} Calculer $f'' (x)$ pour tout réel $x$ et en déduire les coordonnées de $A$ (on donnera une valeur approchée de l'ordonnée à $10^{-2}$ près). \itemitemalph En utilisant le graphique, préciser sans calcul le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4; 1, 5]$. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 0$ sur cet intervalle (justifier). \itemitemalph On note $\alpha $ l'unique solution positive de cette équation. \` A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement à $10^{-2}$~près de cette solution $\alpha $. \finexo \corrige {} \itemnum Soit la fonction $g$ définie par $g (x) = x+2$. On a alors $g' (x) =1$ et $g'' (x) = 0$. D'où $$ g'' - 2g' + g = 0 - 2 + x + 2 = x, $$ ce qui prouve que \tresultat {la fonction $g$ est une solution particulière de $(E)$}. \itemalphnum L'équation caractéristique associée à l'équation sans second membre $(E_0)$ est $$ r^2 - 2r + 1 = 0. $$ Le calcul du discrimant nous donne $\Delta = 0$, donc l'équation caractéristique admet la solution double $r = 1$. \item {} On en déduit que la solution générale de l'équation sans second membre $(E_0)$ est $$\dresultat { y_0 (x) = (Ax + B) e^{x} \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}. }$$ \itemalph On en déduit que la solution générale de l'équation $(E_)$ est $$\dresultat { y_1 (x) = x+2 + (Ax + B) e^{x} \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}. }$$ \itemalphnum Soit $f$ définie par $$ f (x) = x + 2 + (1-2x) e^x. $$ On a alors $f' (x) = 1 + (1-2x-2)e^x$, soit \dresultat {f' (x) = 1 - (1+2x)e^x}. On a alors aucun mal à vérifier que \dresultat {f (0) = 3} et \dresultat {f' (x) = 0}. \itemalph On utilise la formule $y = f' (a) (x-a) + f (a)$ avec $a=0$, pour trouver l'équation de la tangente cherchée~: \dresultat {y = 3}. \itemalph On trouve \dresultat {f'' (x) = -(3+2x)e^x}. On en déduit que $$ f'' (x) = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad x = -{3\over 2} $$ puisque $e^x$ est toujours non nul. On trouve donc finalement $$\dresultat { A \left( - {3\over 2}, {1\over 2} + 4 e^{-3/2}\right) \approx \left( - 1, 5; -0, 60\right) }$$ \itemalph Sur le graphique, on relève le tableau de variations suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -4&& 0&& 1,5& \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& \down {$\approx -1,8$}& \brightuuparrow & \buup {$3$}& \brightddownarrow & \down{$\approx -4$} \cr }} }$$ On en déduit que l'équation $f (x) = 0$ admet \tresultat {2 solutions sur l'intervalle $[-4; 1, 5]$} puisque de toute évidence, au vu du tableau de variations, la fonction $f$ change deux fois de signe sur cet intervalle (une fois sur $[-4; 0]$ et l'autre sur $[0; 1,5]$). \itemalph Par dichotomie, on trouve \dresultat {1, 03 < \alpha < 1, 04} puisque $f (1, 03)$ est positif alors que $f (1, 04)$ est négatif. \fincorrige