\exo {Problème d'examen, {\sl Bts Mécanique et Automatismes Industriels, 1997}} \let \partie \centerpartie \partie{A - résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle définie sur $\rset$ par $$ y'' - 3y' + 2y = -4 e^{2x} \leqno (E) $$ \itemnum Donner la forme générale des solutions de l'équation $(E')~: \quad y'' - 3y' + 2y = 0$. \itemnum Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $g$ définie sur $\rset$ par $g (x) = ax e^{2x}$ soit solution de l'équation $(E)$. \itemitemalphnum Déduire des questions précédentes la solution générale de l'équation $(E)$. \itemitemalph Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ dont la courbe représentative passe par le point $S (0, 2)$ et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses. \partie{B - étude d'une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$} Soit $f$ la fonction définie sur $\rset$ par $$ f (x) = 2 e^{2x} (1-2x) $$ On appelle $C$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$ d'unité graphique 2~cm. \itemitemalphnum \'Etudier la limite de $f$ en $-\infty$. \itemitemalph \'Etudier la limite de $f$ en $+\infty$. \itemitemalph En déduire que $C$ admet une asymptote (que l'on précisera). Préciser la position de $C$ par rapport à cette asymptote. \itemnum \'Etudier les variations de $f$ sur $\rset$. \itemnum Tracer la courbe $C$. \itemnum \`A l'aide d'une intégration par parties, déterminer l'aire, exprimée en $\cm^2$, du domaine limité par $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = -2$ et $x=0$. Donner la valeur de cette aire, arrondie au mm$^2$. \finexo