\exo {Vitesse angulaire d'un arbre moteur} \let \partie \centerpartie Un arbre de transmission reçoit son mouvement d'un moteur et commande la marche d'une machine. Le couple $N$ exercé par le moteur n'est généralement pas constant et il peut en résulter un mouvement saccadé de la machine, surtout en basse vitesse. Le but de l'exercice est de montrer que l'emploi d'un volant de moment d'inertie $J$ important permet de régulariser la vitesse de rotation $\omega $ de l'arbre. On considère que le couple moteur instantané est donné par~: $$ N (t) = N_0 (t) + N_1 \sin (\alpha t), $$ où $N_0$, $N_1$ et $\alpha $ sont des constantes réelles. Le couple résistant exercé par la machine est supposé proportionnel à $\omega $, soit $-k \omega (t)$, où $k$ est une constante réelle donnée. La vitesse angulaire $\omega (t)$ de l'arbre est alors solution de l'équation différentielle $$ J \omega ' (t) = N_0 + N_1 \sin (\alpha t) - k \omega (t). $$ \partie {A - {\sl Recherche d'une primitive}} On considère les fonctions numériques $g$ et $G$ de variable réelle $t$ définies de la façon suivante~: $$ g (t) = \sin t \cdot e^{t/2} \qquad {\rm et} \qquad G (t) = \big[ A \cos t + B \sin t \big] \cdot e^{t/2} $$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles. \itemnum Déterminer $A$ et $B$ pour que $G$ soit une primitive de $g$. \itemnum Montrer que $G$ peut s'écrire $$ G (t) = - {2\sqrt 5 \over 5} \cos (t + \varphi ) e^{t/2} $$ où $\varphi $ est un nombre réel tel que $$ \cos \varphi = - {2\sqrt 5 \over 5} \qquad {\rm et} \qquad \sin \varphi = - {\sqrt 5 \over 5}. $$ \partie {B - {\sl Résolution d'une équation différentielle}} \itemnum Avec les valeurs numériques suivantes~: $$ J = 10 \kg . \m ^2 \qquad N_0 = 20 \N . \m \qquad N_1 = 1 \N . \m \qquad \alpha = 1 \rd . \s ^{-1} \qquad {\rm et} \qquad k = 5 \N . \m . \s $$ vérifier que la vitesse angulaire de l'arbre est solution de l'équation différentielle $$ 10 y' (t) + 5 y (t) = 20 + \sin t. \leqno (E) $$ \itemnum Résoudre l'équation différentielle $$ 10 y' (t) + 5 y (t) = 0. \leqno (E_0) $$ \itemnum {\sl Méthode de la variation de la constante} \item {} On recherche une solution particulière de $(E)$ sous la forme $$ y (t) = K e^{-t/2} $$ où $K$ est une fonction numérique dérivable. \itemitemalph Montrer alors que $\displaystyle K' (t) = 2 e^{t/2} + {1 \over 10} g (t). $ \itemitemalph En déduire l'expression de $K (t)$ et la solution générale de $(E)$. \partie {C - {\sl \'Etude de la vitesse angulaire de l'arbre}} La vitesse angulaire instantanée $\omega (t)$ de l'arbre est donnée par $$ \omega (t) = 4 + {\sqrt 5 \over 25} \cos (t + \varphi ) - {98 \over 25} e^{-t/2}. $$ \itemnum Montrer que pour tout $t$ positif on a $$ -0, 99 < {\sqrt 5 \over 25} \cos (t + \varphi ) < 0, 09. $$ \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation suivante~: $$ {98 \over 25} e^{-t/2} \leq 10^{-2}. $$ On notera $I$ l'intervalle solution. \item {} En déduire que pour $t$ appartenant à $I$ on a $$ 3, 99 \leq 4 - {98 \over 25} e^{-t/2} < 4. $$ \itemnum \'Etablir alors un encadrement de $\omega (t)$ pour $t \in I$. \item {} Au bout de combien de temps, à partir de l'instant $t=0$, cet encadrement est-il valable~? \finexo