\exo {\' Etude d'une fonction exponentielle} On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ de $\rset $ par $$ f (x) = \big( 1-x^2\big) e^{x}. $$ \itemitemalph Déterminer la limite de $f$ en $+\infty $ puis en $-\infty $. \itemitemalph \' Etudier les variations de $f$. Récapituler les résultats dans un tableau. \finexo \corrige {} \itemalph On a $$ \lim _{x\to +\infty } \big( 1-x^2\big) e^{x} = \dresultat {-\infty = \lim _{x\to +\infty } f (x)} \qquad {\rm puisque} \qquad \cases { \lim _{+\infty } \big( 1-x^2\big) = -\infty \cr \lim _{+\infty } e^x = +\infty \cr } $$ et $$ \lim _{x\to -\infty } \big( 1-x^2\big) e^{x} = \lim _{x\to -\infty } e^x -x^2 e^{x} = \dresultat {0 = \lim _{x\to -\infty } f (x)} \qquad {\rm puisque} \qquad \cases { \lim _{-\infty } e^x = 0 \cr \lim _{-\infty } x^2 e^x = 0 &(cf cours) \cr } $$ \itemalph On trouve \dresultat {f' (x) = (-x^2-2x+1) e^x}, qui est du signe du polynôme $(-x^2 -2x +1)$ puisque $e^x$ est toujours positif. La méthode du discriminant $\Delta $ (ici égal à $8 = (2\sqrt 2)^2$) nous donne les 2~racines $$ x_1 = {-2-2\sqrt 2\over 2} = -1-\sqrt 2 \qquad {\rm et} \qquad x_2 = -1+\sqrt 2 $$ et nous garantit que ce polynôme est positif entre ces racines (signe de $-a$). On a ainsi le signe de la dérivée $f'$ puis le tableau de variation de la fonction $f$. $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -\infty && -1-\sqrt 2&& -1+\sqrt 2&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt } f' (x)&& &-& 0& +& 0& - \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& \buup {$0$}& \brightddownarrow & \down{$\approx -0, 43$}& \brightuuparrow & \buup {$1, 25$}& \brightddownarrow & \down {$-\infty $} \cr }} }$$ \fincorrige