\exo {\' Etude d'une fonction exponentielle} On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = - 3 e^{2x} + 3 e^x - 7. $$ \itemnum \' Etudier les limites de la fonction $f$ en $+\infty $ et en $-\infty $. \itemitemalphnum Déterminer l'expression de $f' (x)$. \itemitemalph \' Etudier le signe de $f' (x)$ sur $\rset $. \itemitemalph En déduire les variations de la fonction $f$. Récapituler les résultats dans un tableau. \finexo \corrige \itemnum $\underline {\hbox {En $-\infty $}}$~: On a \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = -7} puisque $$ f (x) = - 3 e^{2x} + 3 e^x - 7 \qquad {\rm puisque} \qquad \lim _{x\to \infty } -3e^{2x} = 0 \quad {\rm et} \quad \lim _{x\to \infty } 3e^{x} = 0 $$ \item {} $\underline {\hbox {En $+\infty $}}$~: Là c'est plus difficile puisque l'écriture proposée pour $f (x)$ donne {\sl a priori\/} une forme indéterminée $\infty - \infty $. On factorise alors par le terme \og dominant\fg \ et il vient~: $$\displaylines { f (x) = \downto {e^{2x}}{+\infty } \downto {\left( - 3 + 3 e^{-x} - 7e^{-2x}\right)}{-3} \qquad {\rm d'où} \qquad \cr \dresultat { \lim _{x\to \infty } f (x) = -\infty } \qquad {\rm puisque} \qquad \cases { \lim _{+\infty } e^{-x} = \lim _{+\infty } e^{-2x} = 0 \cr \lim _{+\infty } e^{2x} = +\infty \cr } }$$ \itemnum On trouve \dresultat {f' (x) = -6e^{2x} +3e^x = e^x (-6e^x + 3)}, du signe de $-6e^x +3$ pûisque $e^x$ est toujours positif (strictement). D'où le tableau récapitulatif suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -\infty && -\ln 2&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt } f' (x)&& & +& 0& - \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& \down{$-7$}& \brightuuparrow & \buup {$-6, 25$}& \brightddownarrow & \down {$-\infty $} \cr }} }$$ \fincorrige