\exo {\' Etude d'une fonction exponentielle} \let \partie \centerpartie \partie {A -- \' Etude d'une fonction auxiliaire} On considère la fonction $g$ définie sur $\rset $ par $$ g (x) = (x^2 + 2x - 1) e^{-x} + 1. $$ \itemnum Calculer $g' (x)$ et montrer que $g' (x)$ et $(3-x^2)$ ont le même signe. \itemnum En déduire le tableau de variation de $g$. \itemitemalphnum Montrer que l'équation $g (x) = 0$ admet deux solutions dans $\rset $. \itemitem {} Vérifier que $g (0) = 0$. On note $\alpha $ la solution non nulle. \itemitemalph Prouver que $$ -2, 4 < \alpha < -2, 3. $$ \itemnum Déduire des questions précédentes le signe de $g (x)$ suivant les valeurs de $x$. \partie {B -- \' Etude de la fonction $f$} On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = x - (x^2 + 4x + 3) e^{-x}. $$ On désigne par $C_f$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$. \itemitemalphnum Montrer que, pour tout $x$ réel, on a $$ f' (x) = g (x). $$ \itemitemalph Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ (l'étude des limites n'est pas demandée). \itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $0$. \itemitemnum On note $D$ la droite d'équation $y = x$. \itemitemalph Montrer que la droite $D$ et la courbe $C_f$ se coupent en deux points $A$ et $B$ dont on donnera les coordonnées. \itemitemalph \' Etudier les positions relatives de la droite $D$ et de la courbe $C_f$. \itemnum Construire les droites $T$ et $D$ ainsi que la courbe $C_f$. \finexo