\exo{Calcul de valeurs approchées d'une intégrale} On considère la fonction $f$ définie sur $]-1, 4[$. et l'intégrale $J$, définies respectivement par $$ f (x) = 2 \ln {4 (x+1) \over 4 - x} \qquad {\rm et} \qquad J = \int_0^2 f (x) \, dx . $$ Le but de ce problème est de calculer l'intégrale $J$ (partie A), puis de calculer des valeurs approchées de $J$ en remplaçant $f$ par des fonctions plus faciles à intégrer (parties B et C). Dans chacun des cas, on évaluera l'erreur relative. %\bareme{9} \partie{A - Calcul de la valeur exacte de $J$} \itemitemalphnum Montrer que l'on a pour tout nombre $x$ de l'intervalle $]-1,4[$ $$ f (x) = 2 \ln (x+1) - 2 \ln (4-x) + 4 \ln 2. $$ \itemitemalph Déterminer les limites de $f$ en $-1$ et en $4$. \itemitemalph \'Etudier les variations de $f$. \itemnum Tracer $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités $3$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées. \itemitemalphnum On introduit la fonction auxiliaire $F$ définie pour tout $x>0$ par $$ F (x) = \int_1^x 2 \ln t \, dt. $$ \`A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $F (x) = 2 (1 - x + x \ln x)$. \itemitemalph On considère sur l'intervalle $]-1, 4[$ les fonctions $h$ et $H$ définies par $$ h (x) = 2 \ln (x+1) - 2 \ln (4-x) \qquad {\rm et} \qquad H (x) = F (x+1) + F (4-x). $$ Montrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $]-1, 4[$. \itemitemalph Calculer la valeur exacte de $J$. %\bareme{4} \partie{B - Utilisation d'un polynôme d'interpolation de degré~2} Soit $P$ le polynôme défini par $P (x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. \itemnum Déterminer $a$, $b$ et $c$ pour que $P (0) = f (0)$, $P (1) = f (1)$ et $P (2) = f (2)$. \itemnum On prend désormais $$ P (x) = (-5 \ln 2 + 3 \ln 3) x^2 + (11 \ln 2 - 5 \ln 3) x. $$ Calculer $I = \int_0^2 P (x) \, dx$. \itemnum Calculer $|J - I|$. Donner, à l'aide de la calculatrice une valeur approchée à $10^{-3}$ près du quotient $$ {|J - I| \over J}. $$ %\bareme{7} \partie{C - Utilisation d'un polynôme d'interpolation de degré~1} \itemnum On note $T$ la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $3/2$. Déterminer une équation de $T$ sous la forme $y = t (x)$ et placer $T$ sur la figure. \itemnum On pose $\displaystyle{ g (x) = f (x) - {8 \over 5} x + {12 \over 5} - 4 \ln 2 }$, pour $x \in \, ]-1, 4[$. \itemitemalph \'Etudier le signe de la dérivée de $g$. \itemitemalph \'Etudier le signe de $g$. Interpréter géométriquement. \itemitemalph Calculer $$ K = \int_0^2 t (x) \, dx. $$ Donner une interprétation géométrique de la valeur de $|J-K|$. \itemitemalph Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près du quotient $\displaystyle{ {|J - K| \over J}. }$ \finexo