%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex + columns.tex %% sujet changement de variable %% date 04-12-97 %% auteur jp vignault \exo{Changement de variable $x \mapsto \alpha x + \beta$} On considère l'intégrale $$ I = \int_0^1 {1 \over x^2 + x + 1} \, dx. $$ \itemnum Calculer l'intégrale $I$ à l'aide du changement de variable $$ t = {1 \over \sqrt3} (2x + 1). $$ \itemnum Donner une valeur approchée de $I$ à $10^{-3}$ près. \finexo \corrige{} %\everymath = {\displaystyle} On a, d'une part $$ t = {1 \over \sqrt3} (2x+1) \qquad {\rm donc} \qquad x = {1 \over 2} (t \sqrt3 - 1) \qquad {\rm et} \qquad dx = {\sqrt3 \over 2} \, dt, $$ d'autre part $$ x^2 + x + 1 = {1 \over 4} (3t^2 + 3) = {3 \over 4} (t^2 + 1) $$ En appliquant la formule du changement de variable, il vient alors $$ \eqalign{ I &= \int_0^1 {1 \over x^2 + x + 1} \, dx. = \int_{1 \over \sqrt3}^{\sqrt3} {4 \over 3} \times {\sqrt3 \over 2} \times {1 \over t^2 + 1} \, dt = {2 \over \sqrt3} \big[ \arctan t \big]_{1 / \sqrt3}^{\sqrt3} \cr &= {2 \over \sqrt3} \Big( {\pi \over 3} - {\pi \over 6} \Big) = {2 \over \sqrt3} \times {\pi \over 3} = {\pi \over 3\sqrt3} = {\pi \sqrt3 \over 9} \simeq 0, 604. \cr }$$ \fincorrige