%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex + columns.tex %% sujet changement de variable %% date 04-12-97 %% auteur jp vignault \exo{Changement de variable et intégration par parties} On considère la fonction $f$ définie sur $\rset$ par $$ f (x) = e^{-x} \ln (1 + e^x) $$ \itemitemalphnum Déterminer les nombres réels $A$ et $B$ tels que pour tout nombre réel $t$ strictement positif, on ait $$ {1 \over t (1+t)} = {A \over t} + {B \over 1 + t}. $$ \itemitemalph Calculer l'intégrale $\displaystyle I = \int_1^e {dt \over t (1+t)} $. \itemnum Soit l'intégrale $\displaystyle J = \int_0^1 f (x) \, dx $. \itemitemalph En utilisant le changement de variable défini par $t = e^x$, montrer que $$ J = \int_1^e {\ln (1+t) \over t^2} \, dt. $$ \itemitemalph Calculer alors $J$ en utilisant une intégration par parties et le résultat de la question {\bf 1.}{\sl b\/}). \finexo \corrige{} $$ \num \quad I = 1 - \ln (1 + e) + \ln 2 \qquad \qquad \num \quad J = 2 \ln2 + 1 - (1+e) {\ln (1+e) \over e}. $$ \fincorrige