\paragraphe{Intégrale d'une fonction continue sur un segment} On rappelle qu'une {\sl primitive de la fonction $f$ sur $I$} est une fonction $F$, dérivable sur $I$, et telle que $$ F' (x) = f (x) \qquad \hbox{pour tout } x \in I $$ On admettra que~: \item{$\bullet$} Toute fonction continue sur un intervalle $I$ possède des primitives sur cet intervalle. \item{$\bullet$} Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur l'intervalle $I$, alors $F$ et $G$ ne diffèrent que d'une constante. Autrement dit, il existe un nombre réel $k$ tel que $$ F (x) - G (x) = k \qquad \hbox{pour tout } x \in I $$ En vertu du dernier point, on peut donc affirmer que le nombre $F (b) - F (a)$ est indépendant de la primitive de $f$ choisie. Il ne dépend que de $f$ et des nombres $a$ et $b$ choisis. \assert Définitions Intégrale, Intégrale indéfinie. \narrower $\bullet$ Si $F$ est une primitive de la fonction $f$, on appelle {\sl intégrale de $f$ sur $[a, b]$} le nombre $F (b) - F (a)$. On note $$ \int_a^b f (x) \, dx = \left[ F (x) \right]_a^b = F (b) - F (a). $$ $\bullet$ Pour désigner une primitive {\sl générique\/} de la fonction $f$ (c'est à dire un re\-pré\-sen\-tant de l'ensemble des primitives de $f$), on utilise la notation $$ F = \int f (x) \, dx \qquad {\rm ou} \qquad F = \int f \, dx $$ et on parle de {\sl l'intégrale indéfinie\/} de la fonction $f$. \endassert \exemple{} \columns 2 \everymath = {\displaystyle} $\bullet$ $\int_0^3 4 \, dt = [4t]_0^3 = 4\times 3 - 4 \times 0 = 12$ $\bullet$ $\int_0^1 x \, dx = \left[ {x^2\over 2}\right]_0^1 = {1\over 2} - {0\over 2} = {1\over 2}$ $\bullet$ $\int_0^1 {x\over 3} \, dx = \left[ {1\over3} \times {x^2\over 2}\right]_0^1 = {1\over 6}$ $\bullet$ $\int_1^e {1\over t} \, dt = \int_1^e {dt \over t} = [ \ln t]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1$ $\bullet$ $\int dt = [t]$ $\bullet$ $\int \cos t \, dt = [\sin t]$. \endcolumns \finexemple