\paragraphe{Intégration par parties} Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. La dérivée du produit $uv$ est $$ (uv)' = u'v + uv' \qquad {\rm d'où} \qquad u'v = (uv)' - uv'. $$ Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables, donc continues; si de plus $u'$ et $v'$ sont continues, alors les fonctions $u'v$, $uv'$ et $(uv)'$ sont continues, donc intégrables. Si $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$, on a alors $$ \int_a^b u' (t) v (t) \, dt = \int_a^b (uv)' (t) \, dt - \int_a^b u (t) v' (t) \, dt, $$ soit encore, si on choisit $uv$ comme primitive de $(uv)'$, $$\dresultat{ \int_a^b u' (t) v (t) \, dt = \left[ u (t) v (t) \right]_a^b - \int_a^b u (t) v' (t) \, dt, }$$ \exemple{} \everymath = {\displaystyle} On désire calculer l'intégrale $I = \int_0^1 t e^t \, dt$. On pose $ \cases{ u' (t) = e^t \cr v (t) = t \cr} \qquad {\rm d'où} \qquad \cases{ u (t) = e^t \cr v' (t) = t \cr} $ et il vient $$ \int_0^1 t e^t \, dt = \left[t e^t\right]_0^1 - \int_0^1 e^t \, dt = e - \left[t e^t\right]_0^1 = 1. $$ \finexemple