\sparagraphe{Cas général~: changement de variable du type $x \mapsto \varphi (x)$} \assert Théorème (formule du changement de variable). Soit $\Psi$ une fonction numérique dérivable sur un intervalle $I = [a, b]$ dont la dérivée est continue sur $I$. Pour toute fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle $f (I)$, on a la formule, dite du \og \sl changement de variable\fg~: $$ \dresultat{ \int_{\Psi (a)}^{\Psi (b)} f (t) \, dt = \int_a^b f \left[ \Psi (t)\right] \Psi' (t) \, dt. }$$ \endassert Appliquer cette formule revient à changer la variable d'intégration. C'est cette formule qui a conduit à l'utilisation du symbole (plûtot compliqué) $\int_a^b f (x) \, dx$ pour désigner l'intégrale par rapport à la variable~$x$ de la fonction~$f$ sur l'intervalle~$[a, b]$. \exemple{} Calculer l'intégrale $\displaystyle \int_1^4 {dt \over 1 + \sqrt{t}} $ en utilisant le changement de variable $\varphi :t \mapsto \sqrt t$. En fait ici, par rapport à la formule précitée, $\varphi$ désigne la fonction $\Psi^{-1}$, réciproque sur l'intervalle considéré de la fonction $\Psi : x \mapsto x^2$. \item{$\bullet$} {\sl On calcule les nouvelles bornes d'intégration.} On pose $x = \sqrt t$. La fonction $\varphi :t \mapsto \sqrt t$ est continue et strictement croissante sur $[1, 4]$, avec $$ \varphi (1) = 1 \qquad {\rm et} \qquad \varphi (4) = 2 $$ donc, lorsque $t$ varie entre $1$ et $4$, $x$ varie entre $1$ et $2$. \item{$\bullet$} {\sl On exprime l'expression à intégrer par rapport à la nouvelle variable.} On a $$ {1 \over 1 + \sqrt{t}} = {1 \over 1+x} \qquad {\rm car} \quad \sqrt{t} = x. $$ La fonction $x \mapsto {1 \over 1+x}$ est continue, donc intégrable, sur $[1, 2]$. \item{$\bullet$} {\sl On exprime l'élément différentiel en fonction de la nouvelle variable et de son élément différentiel.} On a $x = \varphi (t)$ et $\varphi' (t) = {1 \over 2 \sqrt{t}}$. En utilisant les notations différentielles, on a donc $$ % \varphi' (t) = {dx \over dt} dx = {dt \over 2 \sqrt{t}} \qquad {\rm d'où} \qquad dt = 2 \sqrt{t} \, dx = 2 x \, dx \qquad {\rm car} \quad \sqrt{t} = x. $$ \item{$\bullet$} Il vient alors $$ \int_1^4 {dt \over 1 + \sqrt{t}} = \int_1^2 {1 \over 1 + x} \times 2x \, dx = \int_1^2 {2x \over 1 + x} \, dx $$ (On a utilisé la formule du changement de variable avec $\Psi = \varphi^{-1} : t \mapsto t^2$.) Reste alors à remarquer que, pour tout élément $x$ de $[1, 2]$, on a ${x \over 1+x} = 1 - {1 \over 1+x}$ pour obtenir $$ 2 \int_1^2 {x \over 1 + x} \, dx = 2 \int_1^2 \, dx - 2\int_1^2 {dx \over 1 + x} = 2 [x]_1^2 - 2 [\ln (1+x)]_1^2 = 2 (1 + \ln 2 - \ln 3). $$ \finexemple