\exo{Pôles simples dans $\rset$} On se propose de calculer l'intégrale $$ I = \int_0^1 {3t - 14 \over t^2 - t - 6} \, dt. $$ \itemitemalphnum Résoudre dans $\rset$ l'équation $t^2 - t - 6 = 0$. \itemitemalph En déduire une factorisation de $t^2 - t - 6$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré. \itemnum Déterminer deux constantes $a$ et $b$ telles que, pour tout réel $t \in [0, 1]$, on ait $$ {3t - 14 \over t^2 - t - 6} = {a \over t+2} + {b \over t-3}. $$ \itemnum Après avoir justifié que la fonction $\displaystyle{ t \mapsto {3t - 14 \over t^2 - t - 6} }$ est continue sur $[0, 1]$, calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$. \remarque Les nombres $-2$ et $3$ annulant le dénominateur sont appelés {\bf pôles} de la fraction rationnelle. Ils sont dits {\bf simples} car la factorisation du dénominateur où ils interviennent ne comporte que des polynômes du premier degré. \hfill \break % Observez la forme de la décomposition de la fraction rationnelle dans le {\bf 2.}, c'est elle qui permet l'intégration de la fraction. Cette forme n'est pas nécessairement donnée dans les énoncés de BTS. \finremarque \finexo