\exo{Partie entière d'une fraction rationnelle} On se propose de calculer l'intégrale $$ J = \int_0^1 {2x^2 + x + 1 \over x+3} \, fdx. $$ \itemnum Déterminer trois constantes réelles $a$, $b$ et $c$ telles que, pour tout $x \in [0, 1]$, $$ {2x^2 + x + 1 \over x+3} = ax + b + {c \over x+3} . $$ \itemnum Après avoir justifié que la fonction $\displaystyle{ t \mapsto {2x^2 + x + 1 \over x+3} }$ est continue sur $[0, 1]$, calculer la valeur exacte de l'intégrale $J$. \remarque Ici, le numérateur de la fraction rationnelle à intégrer possède un degré supérieur à celui du dénominateur, d'où la présence d'un polynôme $ax+b$ dans la décomposition du {\bf 1.}~: c'est la {\bf partie entière} de la fraction rationnelle. Ici cette fraction n'a qu'un seul pôle~: $-3$, et il est simple. \finremarque \finexo