\exo{Fonction rationnelle et logarithme} On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]-2, 2[$ par $$ f (x) = {x^2 \over 4 - x^2} \qquad {\rm et} \qquad g (x) = \ln (4-x^2). $$ \itemnum Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0, 1]$~: $$ f (x) = -1 + {1\over 2-x} + {1\over 2+x}. $$ \itemnum Calculer la valeur exacte de l'intégrale $$ I = \int_0^1 f (x) \, dx. $$ \itemnum En utilisant une intégration par parties, montrer que $$ J = \int_0^1 g (x) \, dx = \ln 3 + 2I. $$ En déduire la valeur exacte de $J$. \finexo \corrige {} \itemnum En réduisant au même dénominateur l'expression proposée, il vient $$ -1 + {1\over 2-x} + {1\over 2+x} = {-(2-x)(2+x)\over 4-x^2} + {2+x\over 4-x^2} + {2-x\over 4-x^2} = {x^2 \over 4 - x^2} = f (x) $$ d'où l'égalité proposée. \itemnum On a alors $$\eqalign { I &= \int_0^1 f (x) \, dx = \int_0^1 -1 + {1\over 2-x} + {1\over 2+x} \, dx \cr &= \Big[ -x - \ln (2-x) + \ln (2+x)\Big] _0^1 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {I = -1+\ln 3} \cr }$$ \itemnum On veut calculer $$ J = \int_0^1 \ln (4-x^2) \, dx = \int_0^1 1 \times \ln (4-x^2) \, dx $$ Posons $U' = 1$ et $V = \ln (4-x^2)$. On a alors $U = x$ et $\displaystyle {V' = {-2x \over 4-x^2}}$. L'intégration par parties de $J$ donne alors $$ J = \Big[ x\ln (4-x^2)\Big] _0^1 - \int _0^1 {-2x^2 \over 4-x^2} \, dx = \ln 3 + 2 \int _0^1 {x^2 \over 4-x^2} \, dx \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {J = \ln 3 + 2I} $$ Finalement, on a donc \dresultat {J = 3\ln 3 - 2} \fincorrige