\exo{Obtention de développements limités par intégrations d'inégalités} On se propose ici d'encadrer les fonctions sinus et cosinus par des fonctions polynômes. On procédera par des intégrations successives d'inégalités \itemnum Montrer que pour tout réel $x \geq 0$, on a l'inégalité $-x \leq \sin x \leq x$. \itemnum Montrer successivement que pour tout $x \geq 0$, \itemitemalph \qquad $\displaystyle{ 1 - {x^2 \over 2} \leq \cos x \leq 1 }$. \itemitemalph \qquad $\displaystyle{ x - {x^3 \over 6 } \leq \sin x \leq x }$. \itemitemalph \qquad $\displaystyle{ 1 - {x^2 \over 2} \leq \cos x \leq 1 - {x^2 \over 2} + {x^4 \over 24} }$. \itemitemalph \qquad $\displaystyle{ x - {x^3 \over 6 } \leq \sin x \leq x - {x^3 \over 6 } + {x^5 \over 120} }$. \itemitemalphnum Montrer que les inégalités {\sl a\/}) et {\sl c\/}) restent vraies lorsque $x$ est négatif. \itemitemalph Quels encadrements de $\sin x$ peut-on déduire des questions précédentes lorsque $x$ est négatif~? \finexo