%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex + columns.tex %% sujet %% date 04-12-97 %% auteur jp vignault \exo{Une intégrale un peu problématique} Le but de cet exercice est de calculer la valeur exacte de l'intégrale \smash{$\displaystyle{ J = \int_0^1 {x e^x \over (e^x + 1)^3} \, dx. }$} \itemitemalphnum Montrer que pour tout réel $x$ on a $$ {1 \over (e^x + 1)^2} = 1 - {e^x \over e^x+1} - {e^x \over (e^x + 1)^2}. $$ \itemitemalph Calculer l'intégrale $$ I = \int_0^1 {1 \over (e^x + 1)^2} \, dx. $$ \itemitemalphnum Déterminer une primitive de la fonction $$ x \mapsto {e^x \over (e^x + 1)^3}. $$ \itemitemalph Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale $$ J = \int_0^1 {x e^x \over (e^x + 1)^3} \, dx. $$ \finexo \corrige \itemalphnum En réduisant le second membre au même dénominateur, il vient $$ 1 - {e^x \over e^x+1} - {e^x \over (e^x + 1)^2} = {1 + 2e^x + e^{2x}\over (e^x+1)^2} - {e^{2x} + e^x \over (e^x+1)^2} - {e^x \over (e^x + 1)^2} = {1 \over (e^x + 1)^2} $$ d'où la relation demandée. \itemalph Il vient alors $$\eqalign { I &= \int_0^1 1 - {e^x \over e^x+1} - {e^x \over (e^x + 1)^2} \, dx \qquad \hbox {de la forme} \qquad \int 1 + {u'\over u} - {v'\over v^2} \cr &= \left[ x - \ln (e^x + 1) + {1\over e^x + 1} \right] _0^1 = 1 - \ln (e+1) + {1\over e+1} + \ln 2 - {1\over 2} \cr }$$ Soit finalement \dresultat {I = {1\over 2} + {1\over e+1} + \ln \left( {2\over e+1} \right) } \everymath = {\displaystyle } \itemalphnum On reconnaît que ${e^x \over (e^x + 1)^3}$ est de la forme ${u'\over u^3}$. Une primitive de cette fonction est donc $-{1\over 2u^2}$. Soit ici la fonction $$ \dresultat {x\mapsto - {1\over 2(e^x + 1)^2}} $$ \itemalph En intégrant par parties, il vient $$\eqalign { J &= \int_0^1 x \times {e^x \over (e^x + 1)^3} \, dx \qquad = \int U \times V' \qquad {\rm avec} \qquad \cases { U = x \qquad V' = e^x / (e^x + 1)^3 \cr U' = 1 \qquad V = -1 / 2(e^x + 1)^2 \cr } \cr &= \left[ - {xe^x\over 2(e^x +1)^2}\right] _0^1 - \int _0^1 - {1\over 2(e^x + 1)^2} \, dx \cr &= - {e\over 2(e + 1)^2} + {1\over 2} \times I \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat { J = - {e\over 2(e + 1)^2} + {1\over 4} + {1\over 2 (e+1)} + {1\over 2}\ln \left( {2\over e+1} \right)} \cr }$$ \fincorrige