\exo{Intégration par parties~: produit d'une exponentielle et d'un logarithme} \itemitemalphnum Montrer que l'on a pour tout nombre réel $x$ $$ {e^{2x} \over 1 + e^x} = e^x - {e^x \over 1+e^x}. $$ \itemitemalph En déduire le calcul de l'intégrale \qquad $\displaystyle I = \int_0^1 {e^{2x} \over 1 + e^x} \, dx $. \itemnum Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $$ f (x) = \ln (1+e^x). $$ \itemitemalph Calculer la dérivée de la fonction $f$. \itemitemalph Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la valeur exacte de l'intégrale $$ J = \int_0^1 e^x \ln (1+e^x) \, dx. $$ \finexo \corrige{} \itemalphnum Il suffit de réduire au même dénominateur. \itemalph Du coup, il vient $$ I = \int_0^1 e^x - {e^x \over 1+e^x} \, dx = \Big[ e^x - \ln (1 + e^x) \Big]_0^1 \qquad {\rm soit} \qquad \mresultat{I = e - \ln (1+e) - 1 + \ln2} $$ (Pour intégrer $e^x / (1+e^x)$, on a remarqué que cette expression était de la forme $u'/u$.) \itemalphnum On trouve \dresultat{f' (x) = {e^x \over 1+e^x}}. \itemalph Posons $U' = e^x$ et $V = \ln (1+e^x)$, il vient alors $U = e^x$ et $V' = e^x / (1+e^x)$, d'où, en intégrant par parties $$ J = \Big[ e^x \ln (1+e^x) \Big]_0^1 - \int_0^1 {e^{2x} \over 1+e^x} \, dx = e \ln (1+e) - \ln 2 - I $$ où $I$ désigne l'intégrale calculée dans la question {\bf 1.} Finalement, on a $$ \dresultat{J = (1+e) \ln (1+e) + 1 -2\ln2 -e} $$ \fincorrige